第一章量子力学基础知识.ppt

* * * * * * * * * * 如图表示出一维势箱中粒子的能级、波函数及几率密度 * * 由此得出以下结论： ① 粒子可以存在多种运动状态Ψ1 ，Ψ2， Ψ3，…… Ψn （另外还包括Ψ1 ，Ψ2， Ψ3，…… Ψn的线性组合）。 ② 能量量子化 能量只能取不连续的值 ③ 存在零点能（表示运动的永恒性）。能量最低的状态称为基态（n=1时的能级)，基态的能量称为零点能。 ④ 没有经典的运动轨道，只有几率分布。 上图说明箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性。这不是说粒子本身象波一样分布，而是反映粒子在箱中出现的几率函数的分布像波。 * * ⑤ 存在节点，节点越多，能量越高。 Ψ=0的点称为节点。基态没有节点，激发态的节点数为n-1。 {除去箱的两端x=0及x=l的Ψ(x)=0} 上述这些微观粒子的特性统称量子效应。 将一维势箱中粒子扩充到长、宽、高分别为a、b、c的三维势 箱，其Schr?dinger方程为： 假设 （可分离变量） 得： * * 式中若a=b=c（立方箱），则E112=E121=E211。这种能量相同 的各个状态称为简并态，简并态的数目称为简并度。 步骤4：一维势箱中粒子有关力学量的计算 ① * * 结果说明粒子的平均位置在势箱的中央。即粒子在势箱左右两边出现的几率各为0.5，即|Ψ|2图形对势箱中心点是对称的。 ② * * 由于箱中粒子正逆向运动的机会应均等，故 ③ 可见箱中粒子的Px2有确定值。 * * ④ 或： * * 量子力学处理微观体系的一般步骤： ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Hamilton算符和Schr?dinger方程； ② 解Schr?dinger方程，并根据边界条件及归一化条件求出 Ψn和En的具体表示形式； ③ 绘出Ψn和|Ψn|2的图形，讨论其分布特点； ④ 求出Ψn各个对应状态的各种力学量的数值，了解体系的性质。 * * 习题课 例1：求一维势箱中粒子第一激发态在0 ~1/2，0~1/4区间的几率 解： 设 l=1，第一激发态n=2 则 0 ~1/2： * * 同理： 0~1/4区间的几率为： * * 例2：已知氢原子波函数为 求归一化因子A 解： 已知 * * 重要公式： * * 例3： 函数 是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。 解： 该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。 因为 和 都是一维势箱中粒子的可能状态，根据量子力学的基本假设-态叠加原理，它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为 所以?(x)不是?的本征函数，即其能量无确定值。 * * 按以下步骤计算其平均值： 将ψ(x)归一化， 设ψ’(x)=cψ(x)，即： ψ(x)所代表的状态的能量平均值为： * * * * 例1.丁二烯的离域效应丁二烯有4个碳原子，每个碳原子以sp2杂化轨道组成3个σ键后，尚余1个pz轨道和一个π电子。设相邻碳原子间距离为l，按一维势箱模型，对定域和离域两种情况下的π电子的能级进行估算：  l l l 3l 定域 离域 E1 4/9E1 1/9E1 a b * * 结论：共轭分子（b）中离域效应使体系π电子的能量比定域双键分子（a）中电子的能量要低，所以离域效应扩大了π电子的活动范围，即增加一维势箱的长度使分子能量降低，稳定性增加。离域效应降低的是分子的动能，分子中电子能否发生离域效应，需视体系的实际情况而定。 * * 例4：若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近似地表示其运动特征 估计这一势箱的长度l=1.3nm，试计算?电子跃迁时所吸收的光的波长。（实验值是510nm） 解：该离子共有10个?电子，当离子处于基态时，这些电子应填充在能量最低的前5个?型分子轨道上。当受到光的照射时，?电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需的最低能量即第5和第6两个分子轨道的能级差（此能级差对应于吸收光谱的最大波长） * * 相对误差为：-0.67% * * 箱中粒子的Schr?dinger方程及其解 用量子力学方法处理粒子体系时，假定在箱外粒子出现的概率为0， ? =0。但是由于不确定度关系的制约和粒子运动的波性，当箱壁势垒不为无限大时，若波函数在箱壁内侧有非零