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1、等比数列的定义 2、等比数列的通项公式 ☆:已知三个量,可以求出第四个量。 (说“三”道“四”) 一、复习 问题:如何来求麦子的总量? 得: 2S64= 2+22+23+······ +263+264 错位相减得: S64= 264 – 1 1.8 ×1019 即求:1,2,22,······,263的和; 令:S64=1+2+22+······+262+263 , 以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨! 麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。 等比数列的求和公式 一般地,设有等比数列:a1,a2,a3,···,an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即:S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn 错位相减得: (1-q)Sn=a1-a1qn 在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二” 等比数列的求和公式(q≠1) 例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加10%,那么第1年起,约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)? 解:根据题意,每年的产量比上一年增加的百分率相同,所以从第1年起,每年的产量组成一个等比数列{an}。 其中:a1=5, q=1+10%=1.1, Sn=30; 5(1-1.1n) 1-1.1 =30; 1.1n=1.6 n·lg1.1=lg1.6 ∴n= ≈ ≈5(年) lg1.6 lg1.1 0.20 0.041 答:约5年内可以使总产量达到30万吨。 于是得到: 整理得: 两边取对数: 例3、在3和2187之间插入若干个正数,使它们组成等比数列,且插入的这些正数的和为1089。 求:插入的这些正数各是什么? 解:设等比数列的公比为q, 则,这些数为:3,3q,3q2,···,3qn,2187 3q(1-qn) 1-q =1089 ∴ 又∵3qn+1=2187 3q-2187 1-q =1089 ∴ ∴ q = 3 ∴插入的正数为9,27,81,243,729。 ∵这些正数的和为1089。 3q-3qn+1 1-q =1089 即 例4、设数列 为 求此数列前n项和。 解:(用错项相消法) 练习: 2、求: (1)等比数列1,2,4,···从第5项到第16项的和。 (1)a1=3、q=2、n=6 ; 1、根据下列各题的条件,求相应的等比数列 {an}的前n项和Sn: (2)a1=8、q=0.5、an=0.5 。 (2)等比数列 从第3项到第7项和。 * *
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