《24.1.2 垂直于弦的直径》课件.ppt

垂径定理的应用 垂径定理三角形 2． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________． cm C D A B E 已知：AB． 求作：AB的中点． ⌒ ⌒ 点E就是所求AB的中点． ⌒ 作法： 1． 连结AB． 2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E． ⌒ 小练习 A B C D E 已知：AB． 求作：AB的四等分点． ⌒ ⌒ 作法： 1． 连结AB． 3． 连结AC． 2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C． ⌒ 4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点D． ⌒ 5． 点E同理． 点D、C、E就是AB的四等分点． ⌒ * 什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 回 顾 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 圆有哪些对称轴？ O 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么? · O A B C D E 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连结OA、OB，则OA＝OB． ∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， AE和BE重合， AC、AD分别和BC、BD重合． ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 叠合法 D O A B E C 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 知识要点 D O A B E C 垂径定理 AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①直线过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B 垂径定理的几个基本图形： CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC= BC AD= BD AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①直线过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 将题设与结论调换过来，还成立吗？ 这五条进行排列组合，会出现多少个命题？ ① 直线过圆心 ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1 D O A B E C 已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． O A B M N C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ① 直线过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （2）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1 已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C 垂径定理的本质是 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ） ． （2）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ） （3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．