2014年全国各中考数学试卷解析版分类汇编 开放性问题.doc

开放性问题 1. （2014?四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是　　，并证明． （2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由． 考点：矩形的判定． 分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形． 解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH， 在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当BH=EH时，则BC=EF， ∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大． 2. （2014?山东威海，第24题11分）猜想与证明： 如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： （1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 DM=DE ． （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立． 考点： 四边形综合题 分析： 猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明． （1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， （2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， 解答： 猜想：DM=ME 证明：如图1，延长EM交AD于点H， ∵四边形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME． （1）如图1，延长EM交AD于点H， ∵四边形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME， 故答案为：DM=ME． （2）如图2，连接AE， ∵四边形ABCD和ECGF是正方形， ∴∠FCE=45°，∠FCA=45°， ∴AE和EC在同一条直线上， 在RT△ADF中，AM=MF， ∴DM=AM=MF， 在RT△AEF中，AM=MF， ∴AM=MF=ME， ∴DM=ME． 点评： 本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段． 3. （2014?山东枣庄，第22题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定 专题： 计算题． 分析： （1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证； （2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 解答： （1）证明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF， ∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为： 证明：∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， ∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC， ∴四边形ABCD为矩形． 点评： 此题考