函数模型及其应用复习.ppt

课堂互动讲练 例3 2009年10月1日，某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (1.01210＝1.127) 【思路点拨】　先写出1年后、2年后、3年后的人口总数→写出y与x的函数关系→计算求解→作答． 课堂互动讲练 【解】为　(1)1年后该城市人口总数 y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3. … 课堂互动讲练 x年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系是 y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)． 所以10年后该城市人口总数为112.7万． 课堂互动讲练 【规律小结】　(1)年自然增长率＝ (2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数 模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 例3的条件不变，试计算 (1)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)； (2)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应控制在多少？ 解：(1)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x＝120， 课堂互动讲练 所以大约15年该城市人口将达到120万人． (2)设年自然增长率为x，依题意有 100×(1＋x)20≤120， 由此得(1＋x)20≤1.20， 由计算器计算得1＋x≤1.009， ∴x≤0.9%. 所以年自然增长率应控制在小于或等于0.9%. 课堂互动讲练 考点四 函数模型的综合应用 (解题示范)(本题满分12分) 有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分 课堂互动讲练 (1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； (3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%? 课堂互动讲练 【思路点拨】　(1)水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数； (2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数； (3)转化为方程即可解决． 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 ∴g(t1)－g(t2)＜0，∴g(t1)＜g(t2)． 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. 8分 (3)污染源停止，即p＝0，此时 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. 即g(t)＝5%·g(0)， 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【名师点评】　高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答． 课堂互动讲练 课堂互动讲练 高考检阅 (本题满分10分)(2009年高考上海卷)有时可用函数 课堂互动讲练 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次 数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关． (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科． 课堂互动讲练 课堂互动讲练 而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)单调递减． ∴当x≥7时， 掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降. 5分 课堂互动讲练 常见函数模型的理解 1．直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过图象可以很直观地认识它． 2．指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是