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哈尔滨高中数学联赛培训课程 篇一：高中数学联赛培训讲义 高中数学联赛培训讲义 宁波滨海学校 高建彪 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。 第一讲 集合、函数、方程 例1.集合{x|－1≤log110lt;－ x 1 ，1lt;xN}的真子集个数为 。(96年全国高中联赛) 2 【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2n－1 【解】 【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。 练习.已知集合A＝{y|2lt;ylt;3}，x＝ 11log1 32 ＋ 11 log1 35 ，则x与A的关系是 。(83年) (93年)若M＝{(x,y)||tgπy|＋sin2πx＝0}，N＝{(x,y)|x2＋y2≤2}，则|M∩N|＝ 。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 附：|A|表示A的元素个数（93年） 若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是。（98年） 例2.f(x) （xR）是以2为周期的偶函数，当f( 1 x[0,1]时，f(x)＝x1998 ，则：f( 98101)、 f()、1917 104 )由小到大的排列是 。(98年全国高中联赛) 15 【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间[0,1]，再比大小。 【解】 【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。 练习设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x[2,3]时，f(x)＝x，则当x[-2,0]时，f(x)的解析式是 。(90年) A. f(x)＝x＋4 B. f(x)＝2－x C. f(x)＝3－|x＋1| D. f(x)＝2＋|x＋1| 若a1，b1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值 。 (98年) A.等于lg2B.等于1 C.等于0 D.不是与a、b无关的常数 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10＋x)＝f(10－x), f（20－x）＝－f(20＋x)，则f(x)是 。 (92年) A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数 例3.设x与y为实数，满足(x－1)3＋1997(x－1)＝－1，(y－1)3＋1997(y－1)＝1，则x＋y＝。 （97年全国高中联赛） 【分析】构造函数f(t)＝t3＋1997t，将两等式变成函数值，再利用函数性质。 【解】 【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。 练习已知方程|x－2n|＝kx （nN）在区间(2n－1，2n＋1)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。(95年)A. k0B. 0lt;k≤ 用[x]表示不大于实数x的最大整数。方程lg2x－[lgx]－2＝0的实根个数是。 (95年) 设函数y＝f(x)对一切实数x都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且方程f(x)＝0恰有6个不同的根，则这6个实根的和为 。 （91年） 12n?1 C. 11 lt;k≤ D.以上都不正确 2n?12n?1 第二讲 三角变换、三角不等式 1 ,0)，以下三数a＝cos(sinxπ)、b＝sin(cosxπ)、c＝cos(x＋1)π的大小关系是 2 (96年全国高中联赛) A. clt;blt;aB. alt;clt;bC. clt;alt;b D. blt;clt;a 【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。 【解】 【小结】比大小，可以先与0、1比较，先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。 ? 练习.已知0lt;blt;1，0lt;alt;，则下列三数x＝(sinα)logbcos?、y＝(cosα)logbcos?、 4 z＝(sinα)logbsin?的从小到大排列为 。 （94年） 例1.设x(－ ??,)，则(cosα)cos?、 (sinα)cos?、 (cosα)sin?从小到大的排列42 为 。 （90年） .四个数logsin1cos1、logsin1tg1、logcos1sin1、logcos1tg1从小到大的排列为 。 （95年） C?A 例2. 在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若c－a等于AC边上的高h,则sin 2 C?A＋cos的值等于。 (9年全国高中联赛)