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天津南开中学高中数学老师 篇一：天津南开中学2015届高三数学理科基础知识归类 高中数学基础知识归类——献给2015年高三(理科)考生 一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|y?lgx}—函数的定义域；{y|y?lgx}—函数的值域；{(x,y)|y?lgx}—函数图象上的点集. 2.集合的性质： 任何一个集合A是它本身的子集,记为A?A.空集是任何集合的子集,记为??A. 空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A?B,在讨论的时候不要遗忘了A??的情况 如：A?{x|ax2?2x?1?0},如果AR???,求a的取值.(答：a?0) （AB）C?A（BC） CU(AB)?CUACUB,CU(AB)?CUACUB；； （AB）C?A（BC） . AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA?ACUB???CUAB?R.⑥AB元素的个数：card(AB)?cardA?cardB?card(AB). 含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n?1；非空真子集个数为2n?2. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使 f(c)?0,求实数p的取值范围.(答：(?3,)) 23 4.原命题: p?q；逆命题: q?p；否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“sin??sin?”是“???”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p?q且q??p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件). 6.注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q.命题中的：“p或q”的否定是“?p且?q”；“p且q”的否定是“?p或?q”.如：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a?b是奇数” 二.函数 1.映射f:A?B是： “一对一或多对一”的对应；集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集?B). 一一映射f:A?B： “一对一”的对应；A中不同元素的象必不同,B中元素都有 原象. 2.函数f: A?B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?0;偶次根式被开方数非负;对数真数?0,底数?0 且?1；零指数幂的底数?0)；实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a?g(x)?b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x?[a,b]时g(x)的值域. 5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法； 方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； 若f(x)是偶函数,那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)?0)； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或 f(?x)f(x) ??1(f(x)?0)； 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如f(x)?0定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数y?log(?x2?2x)的单调递增区间是_____________.(答：(1,2)) 12 8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)