123章试五答案.docVIP

1．解： 令，，则 ， ， ， 两边积分得 即为方程的通解。 另外，，即也是方程的解。 3．解：令 则： 即 得到 故 即 另外也是方程的解. 4．解： 两边同除以，方程可化为： 令，则 即 两边积分得 即 为方程的解。 5．解：两边同乘以得： 故方程的通解为： 7．解：令，则， 两边对x求导，得 从得 时，； 从得 ， 为参数，为任意常数. 经检验得 ，（）是方程奇解. 8．解：原方程可转化为： 观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为， 代入（*）式得到： 由（**）-（*）得： 变量分离得： 两边同时积分： 即： 故原方程的解为 11．解：令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。 所以x(0)=0. x’(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]. 12．解：若方程具有为积分因子， （是连续可导） 令 ， . ， ， ， 方程有积分因子的充要条件是：是的函数， 此时，积分因子为 . 令 ， 此时的积分因子为 13．习题3.3的第4题 14．证明 显然，方程过的解均存在唯一，而且均可延伸至无穷，但这并不意味解关于可以无限延拓。下证它的存在区间有限。 设是方程适合初始条件的解。令其右方的最大存在区间为。若，则存在区间显然有限。若，取适合，则在上有 或 ，， 两端从到积分得。 由此可得 ，。因此，解的最大存在区间有限。同理可证左方最大存在区间也是有限的。 15．证明: 证明方法类似于教材中定理1.由教材中命题1我们知，方程满足条件的解等价于求积分方程，的连续解，因此我们只要证明上述积分方程的解的存在唯一性即可。 现取 ， ① 易见在上存在且连续。下面证明函数列在上一致收敛。考察级数 ，。 ② 取，由①式有 , ③ 及 . 利用利普希茨条件及③，得到 于是根据数学归纳法可知： 。 上式右端是正项收敛级数的一般项。由 Weierstrass判别法，知级数②在上一致收敛，因 而函数列在区间上一致收敛。现设，易知在区间上连续，且在区间上一致收敛于。因而对① 式两端取极限，即得 ， 解的存在唯一性得证。