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2012-2-23 Wavelets analysis 小波与小波分析初步 小波 小波变换 小波级数 小波分析简史 小波分析是自1986年以来由于Y.Meyer，S.Mallat 及I.Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴科学。它是Fourier变换划时代发展的结果。应用十分广泛。 它的发展历史可以追朔到1909年Haar的工作。 从现代小波分析的观点看，1930年前后有许多与小波的新方向出现。但是此后的进展一直不大。 1960年Caldero’n及20年后1980年Grossmann与Morlet的研究的”原子分解”是小波分析的新开端。 什 么 是 小 波 小波 对于函数 ，称ψ(t )是小波，如果 小波(函数)特点 在整个实轴上可得，所以在无穷远处为零。图像是振荡的，即图像与x 轴所夹的上半平面中的面积和下半平面的面积是相等的。 小波英文中为Wavelet或Wavelets。 研究的信号都是能量有限的，所以 Haar 小波 Haar小波 Haar小波函数定义为 h(t) 的Fourier变换 Haar小波及它的Fourier变换 Shannon小波 Shannon函数s(t) 是由下述它的Fourier变换定义的函数 取Fourier逆变换得到 s(t) 满足小波的定义。 Shannon小波及它的Fourier变换 Gauss小波与Mexic帽小波 Gauss小波是Gauss函数的一阶导数 Mexic帽小波是Gauss函数的二阶导数 Mexic帽小波及它的Fourier变换 小波族(Wavelets) 其中a 为尺度参数，b 为位移参数。 连续小波变换 小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进一步伸延。 连续小波变换 设 ，称 积分小波变换，也称为连续小波变换。 连续小波变换也可写为内积形式 连续小波变换的Matlab命令 Cwt函数-----一维连续小波变换函数 语法格式：Coefs=cwt(S,scales,’wname’,‘plot’) Coefs=cwt(S,scales,’wname’,plotmode, xlim) S是信号；scales是正的实尺度；wname小波名，计算向量一维小波系数； plot画图； plotmode是图形着色，它的有效值是：’lvl’—scale-by-scale着色模式, ‘glb’ —所有尺度的着色模式, ‘abslvl or lvlabs’ —使用系数绝对值的scale-by-scale着色模式, ‘absglb or glbabs’ —使用系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式。 Xlim＝[x1 x2]并且1=x1 = x2 =length(S)。 %设置有效支撑和网格参数，就是自变量的取值范围和在这个范围内的取值点的个数 lb=-5; ub=5; n=1000; % 计算并画出Mexican hat小波 [psi,x]=mexihat(lb,ub,n); figure(1); subplot(311); plot(x,psi,r,LineWidth,2); legend(Mexican hat) title(连续小波变换); % 装载实际信号 load vonkoch vonkoch=vonkoch(1:510); lv=length(vonkoch); subplot(312); plot(vonkoch,LineWidth,2); legend(被分析信号); subplot(313); % 执行连续小波 Mexican hat变换， ccfs=cwt(vonkoch,1:32,mexh,abslvl,[200 400]); 连续小波变换的图示 一个实际信号的小波变换 连续小波变换的频域表示 的Fourier变换 对连续小波变换用Parseval恒等式 意思是连续小波变换关于b的Fourier变换为 小波变换重构原来函数的条件 在Fourier变换中，给出了函数f(t)的Fourier变换 ，还可以用Fourier逆变换再变回到f(t)，即可以由 重构 f(t)。 在小波变换中，有无逆变换，或者说，如何用小波变换 重构f(t) 呢？ 要解决这一问题，除假定 外，还需要ψ(t)满足容许性条件 基小波 基小波 如果 并且满足容许性条件，则称ψ是一个基小波。相应的连续小波变换称为关于这个基小波的连续小波变换(或积分小波变换)。 在以后谈到小波时，