有限差分求解扩散的数值解.ppt

3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布） 孔随机分布三维结构 黑色：孔 白色：实体 孔隙率：0.35 3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布） 稳态时浓度分布图 纵向剖面浓度分布 纵向剖面结构图 3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布） 3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能 样品 孔隙率 总曲折因子 连通孔/总孔 封闭孔/总孔 相转换制备 0.35 2.15 95.12% 1.68% 孔随机分布 0.35 70.67 65.69% 26.73% 两种孔结构输运性能对比 谢谢大家！ 有限差分法求解扩散问题的 数值解 王智文 2013.5.15 提 纲 1.有限差分原理（一维坐标系） 2.边界条件处理（二维柱坐标系） 3.实验室应用举例（三维直角坐标系） 1.有限差分的基本原理（一维坐标系） 微分方程转化为代数方程： 菲克第二定律的一维方程： 1.有限差分的基本原理 （变量离散） X轴 t轴 m=L/k，n=T/h,平面内有m×n个网格点 L Ci+1,j Ci,j-1 Ci,j Ci-1,j Ci,j+1 tj=j*h 在x—t平面将距离和时间离散化：时间步长△t取h，距离步长△x取k，步数分别为n和m。 Xi=i*k 设法在x—t平面网格点上逼近浓度C(x,t)值 1.有限差分的基本原理（ 将微分方程转化为代数方程） 令 ，得代数迭代格式 由上式可知，某一时刻的浓度值，可以由前一个时刻的浓度值计算得出，即可从初始零时刻逐步迭代计算任一时刻任一离散点的浓度值 注意：要使迭代式收敛稳定，须使0s ≤0.5 Ci,j Ci,j+1 Ci+1,j Ci-1,j 高浓度端 10-5 低浓度端 0 1.有限差分的基本原理（ 一维扩散例子） 设定参数 扩散系数D： 10-7cm2/s 透氧距离L： 0.01cm 高浓度C1： 10-5 mol/ml 低浓度C2： 0 距离步长k： 0.0005cm 距离等分数： 20 时间步长h： 1s 初始浓度： 0 迭代代数式，Matlab编程计算 1.有限差分的基本原理（ 一维扩散例子） 计算结果 稳态下 扩散出口 绝缘 环 扩散进口 圆柱上底面和侧面为高浓度面（红色） 圆柱下底面同心小圆为低浓度面（白色） 圆柱下底面圆环为绝缘面 （蓝色） 2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子） r Z 0 圆心对称 2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子） 扩散微分方程： 柱坐标下取体积微元由质量衡算推导扩散偏微分方程 r r+ △r △Z 体积微元质量变化量 移项化简得 即 代入可得 ，将 2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子） Cki,j Cki,j-1 Cki,j+1 Cki+1,j Cki-1,j 0 变量离散，微分方程化为代数方程： Cki-1,j Cki,j-1 Cki,j+1 Cki,j Cki+1,j 2.边界一 Ck1,1——Ck1,n=C0 Ck1,n——Ckm,n=C0 圆柱上表面和侧面边界 扩散出口边界条件 扩散出口边界 Ckm,1——Ckm,n1=0 2.边界二 下表面绝缘边界条件： Ckm-1,j Ckm,j-1 Ckm,j+1 Ckm,j 虚拟点：Ckm+1,j=Ckm,j 2.边界三 Cki-1,j Cki,j-1 Cki,j+1 Cki,j Cki+1,j 圆柱轴中心线上格点 Cki-1,1 Cki+1,1 Cki,1 Cki,2 无法用 2.边界四 圆柱轴中心线上格点微元体积质量衡算 Cki-1,1 Cki,1 Cki+1,1 Cki,2 2.边界四 体积微元质量变化量 移项化简得 得到轴中心线上网格点迭代格式： 2.Matlab计算结果 50秒浓度及其等高线 2.Matlab计算结果 20