作业实验5.docxVIP

实验5.1 复化求积公式计算定积分(1)用复化梯形公式、复化辛普森公式利用复化高斯-勒让德公式计算，误差限在1/2e-7，计算各个方法的应用步长。以第一题为例输入n1=trapen(f,a,b,wucha)n2=simpn(f,a,b,wucha)n3=Gausslegn(f,a,b,wucha);%%n1为复化梯形公式需要的步长%%n2为复化辛普森公式需要的步长%%n3为复化高斯勒让德公式需要的步长。输出n1=9310n2=85n3=29 (2)分别用复化梯形公式、复化辛普森公式利用复化高斯-勒让德公式计算输入Tn=trape(f,a,b,n1)Sn=simp(f,a,b,n2)Gn=Gaussleg(f,a,b,n3)输出Tn=0.693147187950964Sn=0.693147183740232Gn超出计算机运算范围(3)将计算结果与精确解比较，并比较各种算法的计算量输入T1=log(2)-TnS1=log(2)-Sn输出T1=-7.3910e-09S1=-3.1803e-09梯形公式计算时间为5.931496s辛普森公式计算时间为0.470143s同理可得其他三题的步长估计、积分计算值和计算量整理计算结果得表如下：步长统计复化梯形复化辛普森复化高斯勒让德题19310852932457144分值统计复化梯形复化辛普森复化高斯勒让德题1069314718/题23141592653.141592611题31820478481.820476929题47389056127.389056075误差统计复化梯形复化辛普森复化高斯勒让德题17.39E-093.18E-09/题21.25E-086.99E-134.24E-08题33.03E-082.40E-082.08E-09题42.83E-082.32E-082.41E-08计算时间统计复化梯形复化辛普森复化高斯勒让德题16.2829080.486899/题22.7000420.4093733.80687题31.6699030.3440211.169105题44.5800320.3950171.532567实验5.2 自动变步长辛普森方法和自适应辛普森方法1.用复化辛普森公式、自动变步长辛普森公式和自适应辛普森公式计算，要求绝对误差限为1/2e-7，输出每种方法所需节点数和积分近似值，对于自适应辛普森算法显示实际节点上离散函数值的分布。第一题(1)复化辛普森输入tol=0.5e-7;a=0;b=2;M=2;syms x;y=x^6*0.1-x^2+x;n=simpn(y,a,b,tol);Sn=simp(y,a,b,n)n=n+1输出n=81;Sn=1.161904774925233(2)自动变步长辛普森输入[S2n n1]=autosimpson(y,a,b,tol,M);n1=n1+1S2n输出n1=3S2n= 1.163964843750000(3)自适应辛普森算法输入f=inline(subs(y));Q = autoadptsimp(f,a,b,tol)global X K;X=unique(sort(X));Y=f(X);n2=length(X)plot(X,Y,.)输出n2=77Q=1.161904766099253同理第二题可得复化辛普森节点数inf积分值自动变步长辛普森节点数3积分值0.400077249447332自适应辛普森公式节点数132积分值0.400000069448683第三题为复化辛普森节点数5918积分值40.249223595110429自动变步长辛普森节点数3积分值43.162234399784438自适应辛普森公式节点数201 积分值40.249223598735504节点上离散函数分布图（2）根据计算结果分析比较从上面的计算可以看出，自动变步长辛普森算法用（S2n-Sn）/15作为误差值的判定方法其误差还是较大的，故不太准确。相比而言，复化辛普森公式和自适应式辛普森公式都能够达到很好精度的效果。在题二中我们发现matlab提示n的范围过大，而自适应方法则未出现这种情况，说明自适应方法对于计算空间的节省的效果还是值得肯定的，这是因为自适应方法能够根据函数的变化情况自动选取步长，故在函数不同区间其步长也是在变化的。考虑在运行程序时其计算时间自适应方法比简单的复化辛普森公式用时短，比自动变步长用时长。故在即要求精度又要求效率的情况下，推荐采用自适应方法。