圣彼得堡悖论新解与不确定性估值20100320（修订）.docVIP

圣彼得堡悖论新解与不确定性估值 内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。 关 键 词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验 1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案 “圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。 按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和： ――――――――――――(1.1) 由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。 Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。伯努利将货币的效用测度函数用货币值的对数来表示，从而所有结果的效用期望值之和将为一个有限值，则理性决策应以4元为界。 他选择对数函数形式的效用函数： ――――――――――――――――――――――――(1.2) 来反映货币的边际效用递减原理，然后用期望效用最大化方法来解圣彼德堡悖论。如果这样看问题，那么该游戏的期望效用就是： 因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格可由下列方程解出： ?? ? 变形得：????＝10 所以Bernoulli认为“理性决策应以4元为界”。 克莱默持类似的观点，他选择了幂函数形式的效用函数： ―――――――――――――――――――――――――(1.3) 该抽奖活动的效用就是： 因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格 可由下列方程解出： ?? ? 变形得：???}2 所以：???}2=2.914 从表面上看，以上的解决方案近似完美，我们把这类方案称为效用函数解决方案。然而，学术界对以上的效用函数解决方案一直存在着质疑。 2.对效用解决方案的质疑 一些学者如：Menger（1967)的研究对效用函数解决方案提出了挑战。 按照效用函数解决方案，货币具有边际效用递减的性质，以此计算货币的效用，原来的“圣彼得堡悖论”似乎被完美地解决，但是如果增加奖金的数目，则很容易构造出新的“超级圣彼得堡游戏”，制造新的悖论。 以（1.2）的效用函数为例，货币效用函数呈对数形式，我们可以让第n次成功得到的奖金为10的2n次方，于是奖金的分布可见下表： n P(n) 奖金 奖金的效用 期望效用 1 1/2 $102 2 1 2 1/4 $104 4 1 3 1/8 $108 8 1 4 1/16 $1016 16 1 5 1/32 $1032 32 1 6 1/64 $1064 64 1 7 1/128 $10128 128 1 8 1/256 $10256 256 1 9 1/512 $10512 512 1 10 1/1024 $101024 1024 1 那么新游戏的效用就是： 上式所计算的期望效用是无数个1的和，它等于无穷大，即该游戏收益的期望效用是无限的。 对于（1.3）的效用函数，我们可以让第n次成功得到的奖金为2n的平方即22n，于是奖金的分布可见下表： n P(n) 奖金 奖金的效用 期望效用 1 1/2 $22 2 1 2 1/4 $24 4 1 3 1/8 $26 8 1 4 1/16 $28 16 1 5 1/32 $210 32 1 6 1/64 $212 64 1 7 1/128 $214 128