四川大学线性代数课件第三章第二节初等矩阵和逆矩阵的求法.pptVIP

必要性： n 阶可逆矩阵 的行列式|A|?0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a11?0(如a11=0, 必存在ai1?0, 此时先把第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得 其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|?0, 故对B中A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对角元为1的上三角矩阵, 即 再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即 P3k...P32P31C=I.综上就有 (P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证. * 初等变换 我们来看线性方程组的一般形式： 什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？ 用矩阵形式来表示此线性方程组： 令 则，线性方程组可表示为 如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换两个方程的次序； （2）以不等于０的数乘以某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵 施行3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 统称为矩阵的初等行变换，对矩阵而言同样可以作列变换 定义： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 初等行、列变换统称初等变换。 矩阵的等价 对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 阵A与B等价，记作 A B. 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即： 定义：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 初等矩阵 (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。 (2) 以数 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。 C C P C (3) 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。 1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 P P P P P P 2、 证明： 另两种情形同理可证 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 A为可逆矩阵的充要条件是A可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵E. 定理2： 使得 又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。 证明： 由定理，知 ,即存在初等矩阵 等号两边右乘 推论2： 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 即， 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1： 解： 例1： 能否 写成 “=”？ 例2： 用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵 解：用初等列变换 A-1 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆! 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样） 注： 即 初等行变换 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 例3： 解： 方法1：先求出 ，再计算 。 方法2：直接求 。 初等行变换