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巧用S△公式解题例说 一、巧用面积比 我们知道：S△＝ah，由此公式可知： a、等（同）底等（同）高的三角形面积相等； b、同（等）底三角形的面积比等于对应高之比； c、同（等）高的三角形的面积比等于对应底之比。 对于相似三角形，我们还有：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 利用这些面积关系解题，具有直观、简便、灵活、新颖的特点，试看几例： 例1 已知：如图1，BD⊥AC，CE⊥ AB，且CE＝BD。求证：AB＝AC。 证明：∵ S△CAB＝S△BAC， 即AB?CE＝AC?BD， 又∵ CE＝BD，∴ AB＝AC。 评议：例1，一般先用全等三角形知识求证，也可用四点共圆求证，但用S△公式求证再简单不过了，很好。 例2 如图2，AD是△ABC的角平分线。求证：＝。 证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 ∵ AD平分∠BAC，∴ DE＝DF， ∴(1) 又∵ △ABD与△ACD同高， ∴ (2) 由（1）、（2）得，＝。 评议：例2的结论就是重要的三角形内角平分线性质定理。传统证法是利用等腰三角形性质、平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识求证，所用知识较多，而上述证法，所用知识单一，证明过程简捷，较优。 思考：请用S△面积法证明平分线分线段成比例定理（即如图3，l1∥l2∥l3，求证：＝）。 二、巧用面积和 关于图形面积，我们有：一个图形的面积等于它的各部分面积之和。巧妙地利用这一性质解题，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 例3 如图4，正方形PQRT内接于△ABC，已知△ATR，△BTP，△CQR的面积分别为S1＝1，S2＝3，S3＝1，那么正方形PQRT的边长是（ ）。 A、 B、 C、2 D、3 解：设正方形PQRT的边长为x，作△ABC的高AD，交RT于E。 在△ATR中，由S1＝RT?AE，得AE＝＝。 同理，BP＝，QC＝。 ∴ S△ABC＝BC?AD＝（+x+）（+x）＝（x2+10+）， 同时 S△ABC＝S1＋S2＋S3＋S正方形PQRT＝5＋x2， ∴ （x2+10+）＝5＋x2，x4＝16，x＝2。 故选C。 三、巧用S△公式的不同表达形式 常见的三角形面积公式有： a、S△ABC＝ah； b、S△ABC＝(a+b+c)?r= （其中r、R分别为△ABC的内切圆、外接圆半径）； c、S△ABC＝absinC=bcsinA=acsinB。 在几何证明中可利用这些公式作为桥梁，使证明转化为量的计算，从而找到证题的方法。 例4 已知△ABC中，三边上的高分别为ha，hb，hc，内切圆半径为r，且ha＋hb＋hc＝9r。求证：△ABC为等边三角形。 分析：已知是三角形的三条高与内切圆半径的关系，结论是证△ABC为等边三角形，即证三边相等。联想到三角形面积与内切圆半径和高均有关系，所以用三角形面积作为桥梁能使已知和结论之间产生联系。 破题思路：∵ S△ABC＝aha＝bhb＝chc , ∴ ha＋hb＋hc＝2 S△ABC（＋＋）＝9r。 又∵ S△ABC＝（a+b+c）r, ∴ (a+b+c)(＋＋)r=9r, ∴ +++++-6=0, 即 (-)2+(-)2+(-)2=0, ＝且＝且＝ a＝b＝c。 ∴ △ABC为等边三角形。 例5 如图5，已知△ABC中，∠ACB＝90゜，CD是高，CE是角平分线，AC＝6，BC＝8，求CD、CE的长。 分析：例5本可以用射影定理求解，但用面积法，则更为简便。 解：如图5，由勾股定理有AB＝＝10。 ∵ AB?CD＝AC?BC， ∴ CD＝＝＝4.8。 又∵ AC?CEsin45゜＋CE?BC sin45゜＝AC?BC， ∴CE＝＝＝。 思考：1、如图6，在△ABC中，∠A＝90゜，D是AC上一点，且BD＝CD，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F。求证：PE＋PF＝AB。 2、如图7，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足。求证：DE＝。 综上所述，巧用S△面积法解题的关键有三：（1）应用转化思想，通过添设辅助线把问题转化为三角形的面积问题；（2）应用三角形的面积比和线段比的关系定理，把线段比转化为面积比；（3）应用面积的剖分、组合原理，结合面积公式引入方程，用代数方法来计算或证明几何问题。 prevention and treatment of the spe