第四章_矩阵特征问题的求解简-上海大学-非常好.pptVIP

2．雅克比方法 引例：考虑矩阵 当适当选取 ? 让 时，有 其中 ?1=a11cos2?? a12sin2? + a22sin2?， ?2=a11sin2?+ a11sin2? + a22cos2? 定义：称矩阵 为平面旋转矩阵 第i行 第i列 第j列 第j行 平面旋转矩阵P 的性质： 1) P是正交矩阵，即 PPT=E; 2) A是实对称矩阵，则 B=PTAP 仍是实对称矩阵，且A与B具有相同的特征值； 3) 若 B=PTAP ，则||A ||F= || B ||F，其中 即经旋转变换后，对角线上元素的平方和将增加. 4)取 时，有 雅可比 (Jacobi) 旋转法的方法步 1.选取矩阵A的非对角线元素中绝对值最大的元素 aij= aji (ij ) ； 2.确定平面旋转矩阵P1=Pij(?),其中 ?与 aij 同号。作变换A1= P1TAP1=(aij(1)) 3.重复2的工作：作变换Ak= PkTAPk=(aij(k)), Pk=Pij(?), 则有如下关系： 将? 限制在下列范围内 如果 这样得到的矩阵序列{Ak}是收敛的， 且Ak ??（k ? ?）aii(k) ??i （ k ? ?）; 在迭代过程中，若max| aij(k) | ? ，结束运算。 2.取 P=P1 P2 …Pk中的列向量即为?i所对应的特征向量的近似值 则1.取?i ? aii(k) ， 例：用Jacobi方法计算矩阵A的特征值和相应的特征向量 特征值的精确解 ? 1=20.96915893998615 , ?2= -0.9339707868005558 , ?3＝ 0 .465911846814403 特征向量: 直接从三角函数关系式计算sin? 和cos?，记 则 当 时，有下面三角恒等式： 于是 采用下面公式计算 sin? 特征向量的计算 记 P0 = E 则 Pk=Pk-1Pk -1T Pk 的元素为： 算法： 1．从A(k-1)中找出绝对值最大元素 2．若 ，则为对角阵，停 若 （1）令 （2） 当 y = 0时， （3） （4） （5）计算特征向量 P0 = I QR方法 定义. 设W是实的n维列向量，且WTW+1，则称n阶矩阵 H=E-2WWT 为Housholder(豪斯豪尔特)矩阵，或称为镜像反射矩阵，也称为初等反射矩阵。 若设 W=(w1 ， w2， ……， wn）T 则 初等反射矩阵的性质： 1）对称性： HT=H 2）正交性： HTH=E 3）对合性： H2=E QR方法的收敛性定理： 设矩阵A＝(aij)?Rn×n满足下列条件： 1) A的特征值有性质|?1||?2|……|?n|0; 2) A有标准形A=P?P-1，且有P-1 =LU 三角分解. 则由QR算法产生的序列{Ak}本质上收敛于上三角矩阵RA 子空间迭代法 斯密特（Schmidt）正交化过程： 设?1，?2，?3 为R3上的三个线性无关的向量， 令 ，则?1为单位长度的向量，再令 可以验证（?1, ?2）= 0，即?1与?2正交。若令 则 即与?1, ?2正交，将其单位化为 于是向量组?1, ?2, ?3构成R3上一组标准正交基，且 其中Q = [?1, ?2, ?3]为正交矩阵，R是上三角阵。 对n维向量空间，设?1, …, ?n为Rn上n个线性无关的向量， 类似有 … … … … 即 Q为正交阵，R 为上三角阵 将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为 斯密特正交化方法。 斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。 希望 | ?2 / ?1 | 越小越好。 不妨设 ?1 ?2 ? … ? ?n ，且 | ?2 | | ?n |。 取? 0（常数），用矩阵B = A - ?0E 来代替A进行乘幂迭代。 (i = 1, 2, …, n) 设?i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特征值，则B 与A 特征值之间 应有关系式： 原点位移法 关于矩阵B的乘幂公式为 为加快收敛速度，适当选择参数?0，使 达到最小值。 当?i (i = 1, 2, …, n)为实数，且?1?2 ≥…≥?n时，取 则为? (?0) 的极小值点。这时 计算方法与数值计算 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上 海 理 工 大 学 理 学 院 §1 引言 矩阵特征问题的求解 物理、力学及工程技