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工学系12大学大学院単位互換 e-Learning科目磁気光学入門第４回　電磁気学に基づく磁気光学の理論(2)マクスウェルの方程式 佐藤勝昭 東京農工大学 復習コーナー第3回に学んだこと 電磁気学に基づく光と磁気の理論（１） 円偏光と磁気光学効果について学びました。 光と物質の結びつきを誘電率テンソルで表されることを学びました。 第４回に学ぶこと 今回は光と磁気第3章3.3と3.4に沿ってお話しします。 光の伝搬とマクスウェルの方程式 固有解：波動解、固有値：複素屈折率 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態 ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光） ファラデー効果の現象論 ファラデー効果と誘電率テンソル フォークト配置の場合の固有値と固有状態 コットンムートン効果：磁気誘起の複屈折 マクスウェルの方程式 光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、次の関係が成立します。(3.17) （SI単位系） マクスウェル方程式をEとHで表す 簡単のため， J=0と置きます。 [つまり、伝導電流を分極電流（変位電流）の中に繰り込みます] マクスウェル方程式を解く：２つの方法 １つは、第2式をtで1回偏微分し ?/?tとrotの順番を入れ替え、 ?H/?tに第1式を代入します。この後、 exp(-iωt+iKr)の形の波動式を代入し、Eについての２次方程式を得ます。 もう1つは、EとHに先にexp(-iωt+iKr)の形の波動関数を代入し、通常の連立1次方程式にします。ここでHを消去するとEについての２次方程式を得ます。(教科書「光と磁気」では後のやり方を使っています。) マクスウェル方程式を解く　[1] 第2式をtで1回偏微分し ?/?tとrotの順番を入れ替え、 ?H/?tに第1式を代入します。この後、 exp(-iωt+iKr)の形の波動式を代入し、Eについての２次方程式を得ます。 マクスウェル方程式を解く　[1]-1 (3.18)の第2式の両辺をtで偏微分します。 マクスウェル方程式を解く　[1]-2 マクスウェル方程式を解く　[1]-3 ここで、rot、grad、divの間に成り立つ次の公式を用います。 自習課題（１） [提出の必要はありません] 始めにrot Aにrotを及ぼすとどうなるか確かめてください。（物理数学などで学んだはずです）rot rot A=?×(?×A)=grad(divA)-?2A 次に、 マクスウェル方程式を解く　[２] EとHに、exp(-iωt+iKr)の形の波動関数を代入し、通常の連立1次方程式にします。ここでHを消去するとEについての２次方程式を得ます。 マクスウェル方程式を解く　[2]-1 ここでは、微分演算を使わない方法を紹介します。 EおよびHについての波動の式は、波数ベクトルKとして マクスウェル方程式を解く　[2]-2 両式からHを消去し、固有方程式として が得られます。 自習課題（２）[提出の必要はありません] 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導いてください。ここで、ベクトル積の公式 ここで複素屈折率、すなわち、 複素屈折率n+iκ 電磁波の空間変化をexp(iKz)で表します。 K=?N/c=? (n+i?)/cとします。 exp(iKz)=exp(i?nz/c)exp(- ??z/c)と書けます。 この波動は、振幅が距離zとともに振動しながら減衰する波を表します。 光の強度の減衰を表すときには| exp(iKz)|2 を考えます。 | exp(iKz)|2 =exp(-2??z/c) これを吸収係数? を用いてexp(-?z)に等しいと置くと、?= 2??/c=4??/?と表すことができます。 固有方程式を解く　[2] 波数ベクトルの向きに平行で長さが　　であるような屈折率ベクトル　　を用いると、(3.19)の第１式は （３．２１） 　　となり、固有方程式(3.20)は （３．２２） 　　によって記述できます。 以下では、第2回に述べた２つの配置(ファラデー配置とフォークト配置)について固有値を求めます。 ファラデー配置の場合 磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)に対して式(3.21)は と表されます。固有方程式(3.22)はと書けます。この式は下に2式に分けられます。 永年方程式 式(3.24’)がEの如何によらず成立するには、これより、N2の固有値として２個の値 を得られます。これらの固有値に対応する固有関数は、（３．２７）E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応します。E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応 直交