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8.514 凝聚态物理和原子物理中的多体现象最后修订: 2003年9月24日 1. 第3课 二次量子化,玻色子 本课程将讨论多体问题分析中常用的二次量子化方法。该方法的核心思想最初是由迪拉克（Dirac）提出的, 并由费克(Fock)和约当(Jordan)发扬光大。在这个方法里，我们把玻色子或费米子的多粒子态想象为一个由一定数目的全同粒子填充的单粒子态。按二次量子化的语言，我们可以把多体问题转化为用“准粒子”描述的单体问题，而这里“准粒子”正是在相互作用图像下的粒子。1.1 费克空间 多体问题定义了N个粒子（这里是玻色子），这些粒子是由单粒子哈密顿量及双体相互作用哈密顿量的和来描述的其中，xa是粒子坐标。在某些特殊情况下，如核粒子，我们需要引入三粒子甚至更高阶的多粒子相互作用。例如，等 由多体波函数Φ ( x1, x2,…, xN )描述的系统具有关于坐标xa的置换对称性。这种对称要求来自于粒子的不可分辨性和波色统计（即波函数在粒子置换下不变）。波函数Φ ( x1, x2,…, xN )服从薛定谔方程 。因为在人们感兴趣的典型情况下所涉及的粒子数巨大，直接求解这样的方程是很困难的。然而，我们可以考虑几个方法。这里将讨论的二次量子化方法是三十年代发展起来的史上第一个多体技术。 首先，我们将定义有时被称为多粒子“大”空间的费克空间也就是第N个单粒子希尔伯空间#SIGN#对称幂的和。它描述含有任意数目粒子（N=0,1,2…）系统的态。 我们可以通过对态φp(x)的所有排列进行求和，从态ν的正交归一完备集中提取单粒子波函数φp(x)，并由其对称积来构成“大空间”ν的基。mp数表示积里面函数φp(x)出现的次数。求和ΣP中的排列数等于将N个元素组合为含有m1,m2,…个元素且满足(m1+m2+…=N)的分组方法的数目。组合系数(N !/ m1! m2!…,)定义了方程(4)中的归一化因子。可以证明态（4）是正交的且构成ν的完备集。 例如，考虑立方LxLxL中的自由玻色子，其单粒子态可以取为单粒子问题Eφp(x)= 中的本征态。假设存在周期边界条件，我们得到平面波形式的本征态其中，整数n1,2,3 且V=L3。这些态的能量是。此空间ν由下列函数张开对应于无粒子态、单粒子态、双粒子态等的态能量为 0, En , En + Em , 2En , …(7)注意双粒子态函数的构造由参与的单粒子是相同还是相异决定。 我们进一步引进所谓的粒子数表像。允许任何总粒子数为N，重点放在占有数为mi 的情况下态的相关性。这种相关性由该表像明确表征，其中，随同产生和湮灭算符引入的辅助振子跟单粒子态相关。占有数在该表像下解释为每个振子中持有的量子数。在粒子数表像中的费克态有如下形式其中，|0〉是无粒子态，∑mi = N。这种表像反映了（4）中由玻色统计决定的对称性质。 1.2 二次量子化操作数 在粒子数表像中，多体哈密顿量(1)由算符ai , ai+ 的多项式表示 其中，是单粒子及二粒子矩阵元 通过直接计算全部多粒子态对中的哈密顿量矩阵元，以及展示此表像与多体波函数Φ ( x1, x2,…, xN )描述的初始多体问题(1)所给出结果一致，我们可以证明两者等价。在证明过程中，虽然所用到组合数学十分直截了当，但还是较烦杂。这里不给出有关评论，读者可参考J.R. Schrieffer所著的书《超导电性原理》的附录，那里有详细的分析。另外，我们也可以利用之后讨论的泛函方法来导出证明过程。 (9)式和(10)式对任意正交函数集φi(x)成立。在此情况下，当函数为单粒子问题的本征态，不同态之间的矩阵元为零。 哈密顿量的单粒子部分简化为 由于 =ai+ ai不过是粒子数算符，对应粒子数态(8)的单粒子哈密顿量的本征值为 在上述立方中的自由玻色子的例子中，态是由离散的动量标识的，表达式（13）变为 如果玻色子是通过双体势函数U(2) = U(r-r’)相互作用，由(9)式和(10)式， 可以得到如下形式的双粒子哈密顿量其中，由平面波态(5)计算的(15)式的矩阵元具有如下形式我们可以通过选择a = r – r 替换 r作为积分变量来简化上式的计算，由此（16）式中的积分因子为其中，U (k)=∫e-ikr U (r)d3r是相互作用势的傅利叶变换并有 最后，双体哈密顿量取如下形式 其中，对平面波态(5)中所有服从k1 + k2 = k3 + k4的整数参数进行求和。正如计算中阐明的，k1 + k2 = k3 + k4是由系统的平移不变性给出的。物理上，它表述二粒子散射系统的动量守恒。 二次量子化相互作用哈密顿量是根据烟灭或产生算符ak ,和给出的。然而，仔细观察并