2008—2009学年春季学期05本泛函分析B1试题评分标准.docVIP

2011—2012学年秋季学期实变函数考试题 参考答案及评分标准 一、判断题（每题4分） 1． ×2、× 二、填空题（每题4分） 1．2．对任意的，有 3．有界变差函数三、计算题 1．解 设 ，．所以在上连续，因而可积，所以可积，．（3分） 取， 则，．(2分) 而，由有界收敛定理,有(2分)=．(3分) 2．解 因为在上几乎处处等于，而在上是可积的，因而是可积的．(2分) 并且 ．(3分) 同理 ．(3分) 因此．　　　　(2分) 四、证明题 1．证明(１分)对任意的正整数，对任意的正整数，(2分)(2分) 对任意的正整数，．(１分)以下证明．若不然，，则有正整数，使 ，与对任意的正整数，矛盾，(2分) 因此，所以，即． 综上，．(2分)2．证明 任取，则 ，(2分)由连续函数局部保号性知，存在，使得当时，有， 即．（3分） 因此，是的内点，(2分) 由是任意的，所以中的每一个点都是内点, （3分） 因而是开集.3．证明 必要性. 设可测，则满足卡氏条件. 对任意的 （2分） 取,则,．(2分) 由卡氏条件，有 ．（3分） 充分性．设对任意的，，总有，(１分) 则对任意点集，取，，(2分) 则，，且 ．(2分) 所以.由卡氏条件，是可测集.(3分)４．证明 对于任意的正整数,存在可测集,使而在上一致收敛于.(3分) 令，则(2分) ,所以 .(3分) 对任意的(2分)存在正整数，使，而在上一致收敛于,所以 ，所以对每一个，收敛于．(3分) 而, 因此　于.(2分) ５．证明 设上的不定积分，由在上可积，则在上可积，(2分) 由积分的绝对连续性，对任意，存在，使得 有．(2分) 任取中任意有限个互不相交的开区间，，当 时，有(2分)（2分） 因此上的绝对连续函数．（2分）