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10.1《导数及其运算》错误解题分析 一、知识导学 1、瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。 2、导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。 3、导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。 4、导数的四则运算法则： 1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。 2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则 5、复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且。 6、几种常见函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1、导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2、运用复合函数的求导法则,应注意以下几点 （1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导。 (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。 (3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。 3、导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率。导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。 4、 表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。 5、导数与连续的关系 若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数 在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。 6、可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因 此，曲线在点处的切线方程可如下求得： （1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为。 三、经典例题导讲 [例1]已知,则 。 【错因】复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:。 【正解】设,,则 。 [例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？ 【错解】。 【分析】分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 。 解： ∴ f(x)在x=1处不可导。 注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。 【点评】函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数。 [例3]求在点和处的切线方程。 【错因】直接将，看作曲线上的点用导数求解。 【分析】点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值； 点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线。 解： 即过点的切线的斜率为4，故切线为：。 设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又， 故，。 即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为： 【点评】要注意所给的点是否是切点。若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标。 [例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程。 【分析】由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解。 解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1。 （2）令，得，当时，；当时，， 曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。 【