近世代数模拟试题11..docVIP

近世代数模拟试题 一、填空题（每空3分，共30分） 1、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与-----------同构。 2、实数域的全部理想是------- 3、n次对称群Sn的阶是____________.一个有限非可换群至少含有____________个元素.2，…，10},　给出一个A×A到A的映射，这个映射------------单射。 7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是 ------，的逆元是---------。 8、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 9、阶是素数的群一定是-------------群。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、每一个有限群都与一个置换群（ ） A、同态 B、相等 C、同构 D、不相等 2、从同构的意义讲，阶为4 的群只有（ ）个。 A. 1 ?????? B.2 ???????? C. 3???? ??? D.4? 3、指出下列那些运算是二元运算（ ） A、在整数集上，； B、在有理数集上，； C、在正实数集上，；D、在集合上，。 4、设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是(? ?? ? )。A.1? ???B.2? ? C.3? ? D.4满足左消去律，那么必定没有右零因子。 2、在一个群G里，若。 3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 4、假定R是整数环，则：（2，5）=（1） 5、两个理想的交集是一个理想。 四、证明题（共15分） 1、设K是数域F上n阶矩阵全体构成的矩阵环。证明矩阵的相似关系是一个等价关系。是与间的一一映射，是的一个元，则 。 2、如果是一个交换群，那么的任一个子群都是-------------子群。 3、设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数. 4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G是M上的置换群，H=﹛I，（1，3）﹜是G的子群，则H的右陪集为 。 5、变换群一般 ------------- 交换群。 6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a的逆元是-----------。 7、任一个群G的子群G和e总是-------------子群。 8、设 , 为 的两个子群, 则 为 的子群的充分必要条件是. 9、集合A到A的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。 A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、剩余类加群Z18的子群有(? ?? ? )。A.3个? ? B.6个? ?C.9个? ?D.12个是环同态满射，，那么下列错误的结论为（ ） A.若是零元，则是零元； B.若是单位元，则是单位元； C.若不是零因子，则不是零因子；D若是不交换的，则不交换。 5、子群包含的三层意思是（ ） A、H G；H成群；H与G有相同的运算 B、H≠G；H是G的子半群；H有两种运算。 C、H G；H有单位元；H的运算相同。 三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。） 1、A={所有不等于零的偶数}。找一个集合D，使得普通除法是A×A到D的代数运算，是不是可以找到一个以上的这样的D？ 2、设与都是非空集合，那么。 3、A={所有实数}，A的元间的关系以及是不是等价关系？ 4、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。 5、是否存在一个有两个元的群的例，若存在请举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。 四、证明题（共15分） 1、验证集合关于普通加法和乘法是一个整环.是域吗？