线性代数课件第三节行列式课程.ppt

微分方程 第三节 行列式 1.3.1 行列式的概念 1.3.2 行列式的性质 1.3.3 行列式的计算 1.3.4 行列式的应用 1.3.1 行列式的概念 是由常数项 取代D中的第 j 列元素而得到的 解线性方程组（1 ）若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组）且D不等于零，则该方程组有唯一零解。 推论（2）齐次线性方程组*有非零解的充要条件是系数行列式D0K 为何值时，下列方程组只有零解？ 只有零解 解 由推论知，若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式 得故当或时，方程组有非零解. 2. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 有非零解。行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的方阵 称为方阵A的伴随矩阵. 伴随矩阵 （二）用行列式求逆矩阵 例 求矩阵 的伴随矩阵 * * 表示一个与A相对应的数，称之为矩阵A的行列式determinant记作detA（或|A|）。 对于一个n阶方阵 用记号 对于2阶方阵定义其行列式|A|为 即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。 对于3阶方阵定义其行列式|A|为 对角线法则 二阶行列式在解二元一次方程组的应用 余子式元素 的余子式 是在行列式中划掉 元素5的余子式 元素0的余子式 所在的行和列，余下的元素构成的行列式 代数余子式 元素5的代数余子式 元素0的代数余子式 注意：余子式、代数余子式都是行列式。 3 阶行列式的余子式定义三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加 事实上，可验证 n 阶行列式的定义 根据定义算一算 当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！下三角形行列式之值等于主对角线元素之积 用首行展开法可以证明 下三角形行列式 上三角形行列式 后面还可以证明上三角形行列式之值等于主对角线元素之积 计算 按第3行展开 按第2行展开观察哪一行或列的零最多 计算 转置行列式 行列互换 1.3.2 行列式的性质 行列式 行列式转置后，其值不变。 此性质表明 行与列是对等的，行具有的性质，列也有。 性质1.7 互换行列式的两行（列），行列式只改变符号。 推论1.1 如果行列式D有两行（列）相同，则D0。 性质1.8 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论1.2 如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D0 推论1.3 如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D0 性质1.9如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。 性质1.10行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零，即 性质1.11 总之，我们可以得到—— 首行展开法 例如：把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变. 性质1.12 性质1.13 性质1.14下三角形行列式之值等于主对角线元素之积 用首行展开法可以证明 下三角形行列式 上三角形行列式 后面还可以证明上三角形行列式之值等于主对角线元素之积 1.3.3 行列式的计算 消法变换 行的运算 row 列的运算 column 交换i, j两行 数乘第 i 行 数乘第 j 行加到第 i 行 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 j 列加到第 i 列 变号 K 倍 等值 变号 K 倍 等值 利用消法变换化行列式为三角形 例： 例 计算行列式. 解 Vandermonde行列式 如果线性方程组 的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解 1.3.4 行列式的应用 （一）克拉默法则 * * * *