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MATLAB微分方程 1 求简单微分方程的解析解 2 求微分方程的数值解 3 建模实例 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(方程1, 方程2,…方程n, 初始条件, 自变量) 记号: 在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分. 任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程 应表达为：D2y=0. 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(方程1, 方程2,…方程n, 初始条件, 自变量) 例1 求 的通解 解 输入命令： dsolve(Du=1+u^2,t) 结果：u = tg(t + c) 例2 求微分方程的特解： 解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结果: y =3e-2xsin(5x) 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: 例3 求微分方程组的通解 解 输入命令 ： [x,y,z]= dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, Dy=4*x-5*y+3*z, Dz=4*x-4*y+2*z, t) 结果：x = c3e2t+c2e-t y = c1e-2t+c3e2t+c2e-t z = c1e-2t+c3e2t 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 2.2 建立数值解法的一些途径 2.3 用Matlab软件求常微分方程的数值解 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。 而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 对常微分方程 其数值解是指由初始点x0开始的若干离散的x值处的函数近似值 即对x0 x1 x2 ... xn， 求出准确值y(x1)，y(x2)，...，y(xn) 的相应近似值y1，y2，...，yn。 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 1. 用差商代替导数 若步长h较小，则有 故有公式： ，i = 0，1，...，n – 1 此即欧拉法。 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 2. 使用数值积分 对方程y = f(x, y)，两边由xi到xi +1积分，并利用梯形公式 有： 故有公式： 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 2. 使用数值积分 实际应用时，与欧拉公式结合使用： 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 2. 使用数值积分 实际应用时，与欧拉公式结合使用： 此即改进的欧拉法。 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 3. 使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 4. 数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。 2 求微分方程的数值解 2.2 建立数值解法的一些途径 设h = xi+1 – xi，i = 0，1，...，n – 1，可用以下离散化方法求解微分方程： 4. 数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式、三阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶Adams外插公式和内插公式