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§4.3 洛朗级数 一、双边幂级数 二、洛朗级数 三、函数的洛朗展开式 四、函数的洛朗级数展开的应用 小结与思考 一、双边幂级数 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 两收敛域无公共部分． 两收敛域有公共部分H: R H R2 z0 R1 . 在圆环域内解析的函数是否能展开成双边幂级数? 定理 4、双边幂级数在收敛圆环域内的性质 问题 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗展开系数. 洛朗级数 洛朗展开式 R2 R1 说明: 1) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法. 2）如果已知函数在某圆环域内解析，则将该函数展为洛朗级数的关键就是求洛朗展开系数Cn 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 根据幂级数的性质, 可借助初等函数的泰勒展开形式，用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 ，其中代换法结合部分展开是我们要掌握的重点. 2. 间接展开法 （较繁琐，一般不采用） (常用方法) 间接展开时常采用部分展开法 例3 解法一 （直接展开法） C为圆环域内绕原点 的任一正向简单闭曲线 例3 本例中 z = 0 既是各负幂项的奇点, 部分展开法 解法二 （间接展开法） 例4 解： 补充： 代换法 解： 练习 部分展开法 例5 内展开成洛朗级数. 解 x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 o x y 1 代换法 1 2 o x y 由 2 o x y 由 注意: 奇点但却不是函数 的奇点 . 本例中圆环域的中心 是各负幂项的 说明: 1. 函数 在以 为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有 的负幂项, 而且 又是这些 项的奇点, 但是 可能是函数 的奇点,也可能 的奇点. 不是 2. 给定了函数 与复平面内的一点 以后, 域内解析，则在各个不同的圆环域中有不同的 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛 若函数在以 为中心（由奇点隔开的)不同圆环 洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 例6 解 x y O 2 1 . . 例6 解 x y O 2 1 . . 解： o x y 2 2 o x y R2 R1