413球坐标系与柱坐标系.docVIP

4.1.3 球坐标系与柱坐标系 【教学目标】 ⑴借助具体实例了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别; ⑵了解球坐标及柱坐标与直角坐标间的变换公式。 【教学重点】 用球坐标系、柱坐标系刻画空间中点的位置。 【教学过程】 一、问题情境 问题情境：为了实现目标跟踪，目前最先进的是采用地球同步卫星定位系统，怎样确定被跟踪的目标呢？ 二、学生活动 三、讲授练习 1．问题的解决 在实际中，一般用卫星到地球中心的距离、经度和纬度来确定卫星的位置。 2．球坐标系 在空间任取一点O作为极点，从O引两条互相垂直的射线OX和OZ作为极轴，再规定一个单位长度和射线OX绕OZ轴旋转所成角的正方向，这样就建立了一个球坐标系(或空间极坐标系) 。 3．球坐标系中点的坐标 设P是空间的一点，用r表示OP的长度，θ表示以OZ为始边，OP为终边的角，φ表示半平面XOZ到半平面POZ的角。那么有序数组（r，θ，φ）就称为点P的球坐标。 这里r是矢径，θ相当于纬度，φ相当于经度。 4．球坐标系中点与坐标的关系 当r ≥ 0，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ 2π时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（r，θ，φ）（r ≠ 0，θ ≠ 0）建立了一一对应关系。 【例1】正三棱柱的各棱长均为1，建立如图所示的球坐标系，写出它的各顶点的球坐标。 5．空间直角坐标与球坐标之间的关系 。 【例2】将下列各点的球坐标化为直角坐标。 A(5，，)， B(6，0，)， C(8，，)， D(4，，)。 【例3】将下列的直角坐标化为球坐标。 A(1，1，0)， B(0，5，0)， C(4，?4，8)， D(?4，4，?8)。 【例4】在球坐标中，问分别满足下列方程的点构成的图形是什么？ ⑴ r =1； ⑵ θ = ； ⑶ φ = 。 6．柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ轴，可得空间柱坐标系。 7．柱坐标系中点的坐标 设P是空间的一点，P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q，取OQ = ρ，∠xOQ = θ，QP = z，那么点P的柱坐标为有序数组（ρ，θ，z）。 8．球坐标系中点与坐标的关系 当ρ ≥ 0，0 ≤ θ 2π，z ∈R时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（ρ，θ，z）（ρ ≠ 0）建立了一一对应关系。 【例5】在柱坐标系中，满足下列方程的点构成的图形分别是什么？ ⑴ ρ = 2； ⑵ θ = ； ⑶ z =3。 9．柱坐标与直角坐标之间的关系 。 【例6】将下列各点的柱坐标化为直角坐标。 A(4，，5)， B(10，0，?5)， C(12，，9)， D(8，，?2)。 【例7】将下列各点的直角坐标化为柱坐标。 M(3，?，5)， N(?2，?6，?7)。 【例8】已知一个正方体，其棱长为1，试建立适当的柱坐标系，写出各顶点的柱坐标。 四、课堂小结： 1．在各种坐标的转换中，可借助于各坐标的几何意义，通过数形结合思想，注意各坐标的取值范围； 2．在球坐标系中，点的坐标（r，θ，φ）分别对应于（r矢径，θ纬度，φ经度），防止混淆； 3．在球坐标和柱坐标的转换中，可以直角坐标为桥梁进行过渡。 五、课后作业： 课本P15 习题12，13，14，15，16。 江苏省丹阳高级中学高二数学《选修 4 ?4 坐标系与参数方程》 2007-03-26 - 4 - O z ρ x θ z B A(O) x A1 B1 C1 C P(r，θ，φ) z φ x θ r z P(ρ，θ，z) O Q