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2012年安徽省“江南十校”高三联考 数学(理科)参考答案及评分标准 一. 选择题 (1) B　【解析】,由复数的定义有: ,∴. (2)A【解析】由集合M得所以有,由集合得故=. (3) C 【解析】由,则,∴. (4) B 【解析】. (5)Ｂ【解析】由题设, 则当或时,; 当时, .∴. (6) D 【解析】 若为假命题,则中至少有一个为假命题,故D选项错误. (7) B 【解析】由三视图可知. (8) C 【解析】考查函数的特征图象可得: 正确. (9)D 【解析】设两个根依次为.而函数的零点为,则由图象可得: .∴可求. (10) C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内， 可求得或． 二．填空题 (11) 【解析】将直线与圆化成普通方程为: ,进而可求得. (12) 75 【解析】由频率分布直方图. (13) 【解析】 当时, ;当时, ;当时, ;当时, 不满足,∴输出. (14) 2 【解析】法一: 取的中点,连接.则. 　　 法二:设,则, (15)　①④⑤ 三．解答题 (16) 解：(Ⅰ)由题意 又函数的最大值为2,且,则 ……………………………………………………….2分 ∴ 由………………………………………….4分 ∴ 故函数的单调递减区间是…………………6分 (Ⅱ) ， 当且仅当时取等号． ……………………………….……………9分 ……………………..……………12分 (17) 解：(Ⅰ) 由题,又,则 ∴…………………………………………………………….…..4分 (Ⅱ) …………………………………………………………………………………….10分 所以正整数可取最小值3…………………………………………..……. ………...12分 (18) 解： (Ⅰ) 依题意，的可能取值为20，0，—10 ，…………………………1分 的分布列为 20 0 —10 ……………………………………………………………………………..………4分 （万元）…………………………….…6分 (Ⅱ)设表示10万元投资投资项目的收益，则的分布列为 ……………………………………………….……10分 依题意要求……………………………………….…12分 注：只写出，扣1分. (19) 解: (Ⅰ) 证明：方法一，如图，分别取AD、CD的中点P、Q，连接FP，EQ. ∵△和△是为2的正三角形， ∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且FP=EQ=. 又∵平面、平面都与平面垂直， ∴FP⊥平面, EQ⊥平面,∴FP∥QE且FP=EQ， ∴四边形EQPF是平行四边形，∴EF∥PQ.　　 ……………………….……..４分 ∵ PQ是的中位线，∴PQ∥AC, ∴ EF∥AC　………………………………………………………………..……..6分 方法二，以A点作为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,)， F(0,1,)，G(1,0,). …………………………………………..………………..４分 ∴=（2，2，0），=(1，1，0)，则=， ∴∥，即有∥……………………………………………..……..6分 (Ⅱ) ..........12分 (20) 解：(Ⅰ) 令，则，故是单调递减函数, 所以，方程，即至多有一解， 又由题设①知方程有实数根， 所以，方程有且只有一个实数根…………………………………..4分 (Ⅱ) 易知，，满足条件②； 令， 则，…………………………………..7分 又在区间上连续，所以在上存在零点， 即方程有实数根，故满足条件①， 综上可知，……….……………………………...………. ….…………9分 (Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增， ∴,即， 令，则，故是单调递减函数， ∴,即， ∴， 则有….……………..….14分 (21) 解:（Ⅰ）设椭圆的方程为,则由题意知, 又∵即∴, 故椭圆的方程为:……………………………………….…………….2分 (Ⅱ)设. 则由题意, , 即 整理得, 即 所以…………………………………………………………………..….…..6分 (注: 证明,用几何法同样得分) ①若直线中有一条斜率不存在,不妨设的斜率不存在,则可得轴, ∴ , 故四边形的面积…….…….…….7分 ②若直线的斜率存在,设直线的方程: ,则 由得, 设,则 ……………………………………………………