Matrix52矩阵函数课程.pptVIP

§5.5 矩阵函数 一、定义和性质 1. 定义5.14 (P.152) 设 f(z) = 是解析函数, 收敛半径为R, 如果?(A)R, 则 有意义。定义f(A)= 例题5 设A为反对称矩阵, 证明 eA 为正交矩阵。 例题6 设 , 讨论 lnA 是否有意义。 二、矩阵函数的计算——计算f(A)= 2. 最小多项式方法 例题5 设 , 1. 用Jordan化方法计算sinA。 2. 求sinA的Jordan标准形J, 并求矩阵Q, 使得QsinAQ – 1 =J §5.6 函数矩阵的微积分 一、函数矩阵及其分析性质 函数矩阵：A(t)=[aij(t)] m×n, 分析性质： A(t)连续、可微分、可积分? aij(t) 例题1 1. 设 , 计算 deAt/dt。 2. 对任意方阵A, 计算deAt/dt。 § 5.7 矩阵函数的应用(求解常系数微分方程组) 一、微分方程组的一般形式 X(t)=A(t)X(t)+f(t) X(t0)=C。 三、一阶线性常系数非齐次微分方程组 求解： X(t)=AX(t)+f(t) X(t0)=C。 定理5.14 (P.170)：上述方程组的解为 X(t)=e A(t–t0)x(t0)+ 讨论问题： 从矩阵函数计算中可以得到矩阵函数f(A)的哪些有关信息？ 1. 从Jordan标准形方法 f(A)的特征值 f(A)相似性 2. 从最小多项式方法 f(A)=g(A)：任何一个n阶方阵的矩阵函数可以用一个次数不超n-1的矩阵多项式来表示。 Af(A)=f(A)A：任何方阵和它的矩阵函数乘法可交换。 * * 常见的矩阵函数 (P.152) eA, cosA, sinA, ln(I+A), (I-A)-1 函数 eA 的若干性质： 1). 若AB=BA, eA eB = eBeA = eA+B , 2). e0 =I 3). (eA)–1 = e–A 。 1. Jordan标准形方法: (P. 153) A=P J P–1, f(A)=Pf(J)P– 1; 计算矩阵序列：Sn(J) 按元素收敛求得： 如果 A=PJP –1, 则f(A)=Pf(J)P –1; 如果?i为矩阵A的特征值, 则f(?i)是矩阵f(A)的特征值 含参数 t 的函数 f(At)。 例题1 (P. 155) ,计算eA和eAt。 由在谱上等值确定g(?), 则f(A)=g(A) 例题2 设 , 计算eA和eAt 。 例题3 设 , 计算A10。 例题4 (P.158, 例3) 连续 可微分 可积分 微分性质 (P.164, 定理4.3-1+P.164, 定理4.3-2) 齐次：f(t)=0 非齐次：f(t)?0 常系数：A(t)=A 二、一阶线性常系数齐次微分方程组 求解： X(t)=AX(t) X(t0)=C。 定理5.11：上述方程组的解为： X(t)=eA(t–t0)x(t0) 例题1 求解 例题2 求解 *