10正项级数.pptVIP

这里用比值法判断级数的收敛性时, 虽然如此,也还能利用比值, 正项级数及其审敛法 求出比值的极限为1, 比值审敛法失效. 从而得到一般项不收敛于零. 因为 恒大于1, 正项级数 级数收敛. 定理6 柯西(Cauchy) (法)1789–1857 适用于:以n为指数幂的因子 正项级数及其审敛法 2. 根值审敛法 (柯西判别法) 收敛 发散 方法失效 正项级数 根值判别法 (柯西判别法)也可改为： 正项级数 注意： 正项级数 注 1. 根值法条件是充分的, 但非必要. 正项级数及其审敛法 收敛 正项级数 例9 讨论级数 的敛散性. 解 因为 所以, 当a0时, 级数收敛; 当a0时, 级数发散; 当a=0时, 根值法失效, 但此时级数为 是发散的. 正项级数及其审敛法 正项级数 总结： 思维顺序： （1）比较判别法：一般选几何级数，p-级数； （2）比值判别法：通项中出现幂次或阶乘时， 用此法； （3）根值判别法：当通项中的指数位置含有n时，用此法。 正项级数 例10 判定级数 的敛散性. 解 因为 所以 又因为 所以, 收敛, 再由比较判别法知, 原级数也收敛. 正项级数及其审敛法 正项级数 例 11 利用级数收敛性,证明 证 考查级数 由于 故级数 收敛. 由级数收敛的必要条件知, 正项级数及其审敛法 正项级数 四.积分判别法 定理7 设函数 上非负且单调减少, N是某个自然数,令 则级数 与广义积分 同时敛散. 提示: 从而 正项级数 例12 讨论级数 的敛散性. 正项级数 正项级数审敛法的思维程序 五、小结 1. 2. 若 比值、根值法; 若失效 3. 比较审敛法的极限形式 4. 5. 积分判别法 6. 按基本性质 7. ? 比较审敛法 发散; 正项级数 思考题 是非题 是 由比较审敛法知 收敛. 非 例如 收敛, 发散. (1) (2) 正项级数 堂上练习： 判别下列级数的收敛性。 正项级数 正项级数 正项级数 作 业 习题10.2(247页) (A) 3.(4)(5) 4.(6) 5. (1)(4) (B) 1. (2)(5) 3. 4. 6. 正项级数 绝对收敛与条件收敛 例 解 由于 收敛. 正项级数 常数项级数的审敛法 绝对收敛与条件收敛 例 解 绝对收敛 条件收敛 常数项级数的审敛法 1990年研究生考题,选择,3分 解 因而 由性质， 绝对收敛与条件收敛 发散. 例 常数项级数的审敛法 1996年研究生考题,选择,3分 解 因为 绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 所以 因为 从而 故 绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 * 无穷级数 有界性准则 比较判别法 比值判别法和根值判别法 积分判别法 第二节 正项级数 第十一章 无穷级数 小结 思考题 作业 1. 定义 正项级数 2. 收敛的充要条件 单调增加数列 这时,只可能有两种情形: 正项级数及其审敛法 一、有界性准则 正项级数 定理1(有界性准则) 注 正项级数可以任意加括号,其敛散性不变, 对收敛的正项级数,其和也不变. 正项级数及其审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 有上界. 正项级数 例1 判定 的敛散性. 解 由定理1知, 故级数的部分和 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定. 正项级数及其审敛法 该正项级数收敛. 这个例启示我们: 判定一个正项级数的敛散性, 由于 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. 正项级数 证 定理2 即部分和数列有界. 正项级数及其审敛法 则 收敛 收敛 发散 发散 收敛 二、比较判别法 正项级数 不是有界数列 定理证毕. 发散 发散 发散 推论1 (发散) 收敛 收敛 (发散) 证 正项级数 注意： 对于正项级数 则 同时收敛，同时发散。 推论2 比较判别法的不便: 须有参考级数. 正项级数 解 (1) (2) 正项级数及其审敛法 调和级数 发散 用比较审敛法 发散. 例2 讨论 的收敛性. 正项级数 正项级数及其审敛法 收敛. 正项级数 (1) 几何级数 使用正项级数的比较判定法时, 常用的比较级数 正项级数及其审敛法 一些级数的敛散性, 作为比较的标准. 需要知道 (2) p-级数 (3) 调和级数 发散 正项级数 例3 讨论下列正项级数的敛散性. 解 (1) 而等比级数 收敛. 所以, 原级数收敛. 由比较审敛法 正项级数及其审敛法 正项级数 解 因为 而 是发散的p-