概率論2第2讲1.2.docVIP

第2讲 Ch.1 随机事件与概率 §1.2 概率的定义及其确定方法Remarks 本节绪言中的几个问题 1.概率的直观定义 事件发生的可能性大小称为概率. 2.关于概率直观理解的一些经验事实. P.12. 3.概率定义的发展过程 概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义是可测空间，若对任意，定义在上的实值函数满足： (1)非负性公理：若，则； (2)； (3)，，…为同一样本空间下的事件列 我们就称为事件的概率，而称为概率空间. Remark 概率公理化定义并没有具体给出确定事件的概率的方法，但具有理论价值！具体确定事件的概率可依据不同场合选用频率定义法，古典定义法，几何定义法和主观定义法. 1.2.2 排列与组合公式 （确定的古典定义法的基础） P.13-15(自行复习！) 1.2.3 确定的频率定义法 1. 频率定义法确定事件的概率的基本思想(步骤)： (1)大量重复与有关的试验； (2)记下试验次数，以及发生的次数 (称之为事件的频数)，则称 为事件出现的频率； (3)增加试验次数，反复获得更多的，可发现稳定在某个常数附近，则可得 . Remarks 如何理解？(讨论题3)； 频率定义法确定事件的概率有现实局限性，但也有存在价值； 容易验证频率方法确定的概率满足公理化化定义. 2. （“事件的频率的稳定值”即为事件的概率）利用频率定义法确定事件的概率举例 例1.2.1 (1)试验：掷一枚均匀的硬币.记“出现正面”，用频率定义法确定的步骤如下： 1)取 2048, 4040, 10000, 12000, 24000 做五批次试验； 2)对应记下的值，分别为 1061，2048，4979，6019，12012， 进而利用 计算出的值分别得 0.5181，0.5069，0.4979，0.5016，0.5005； 3)容易看出的值稳定在0.5附近，于是，可得 . (2)(看书理解！) (3) (看书理解！) 1.2.4 确定的古典定义法 (这是确定概率的经典方法) 1.古典定义法的特点与基本思想 特点：直观且不必大量试验，只基于事实分析. 方法步骤： (1)确认与事件有关的随机问题为古典概率模型，并确定其包含的样本点总数(记为) ，同时确定事件包含的样本点数(记为) ； (2)利用 计算得到事件的概率. Remarks 古典概率模型简称古典概型，是指满足以下两个条件的概率模型： 1)其包含的样本点总数有限；(即满足有限性) 2)其包含的每一个样本点出现具有等可能性；(即满足等可能性) 容易验证古典定义法确定的概率满足公理化化定义； 利用古典定义法计算概率的前提是要确认所涉及的模型必须是古典概型.而其关键则是运用枚举法或排列组合方法确定算出和，值得提醒的是一般而言易算难求. 2. 古典定义法求举例 一般步骤： (1)给定事件记号的含义.(若题目已交待清楚则此步省！) (这一步称为符号准备) (2)确认古典概型，并算出和.(称为数据准备) (3)利用 (称为依据与计算) 计算得到. 例1.2.2 同掷两枚均匀的硬币，求掷出一个正面一个反面的概率？ 解 记 “掷出一个正面一个反面”. 易见其样本空间为 ｛(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)｝. 该包含的样本点总数(有限)，又由于硬币是均匀的可判定该中的每一个样本点具有等可能性.而事件包含中的(正,反)和(反,正)这两个样本点，所以有.于是 . Remark 本例若认为其样本空间为： ｛(二正),(二反),( 一正一反)｝. 则因其中的样本点不具有等可能性，从而不能用古典定义法求. 此外要请大家注意的是，解答过程在熟练后可写得简洁些！但要有条理，希望通过例子体会！ 例1.2.3 (抽样模型) 一批产品共件，其中件是次品，其余为合格品，从中随机取出件，求事件“取出的件产品中有件次品”的概率？ 解 判断可知，该模型为古典概型，其包含的样本点总数(记为)，而事件包含的样本点数为，于是 ， 其中，，…，. ☆举一个具体例子：取，则有 1 2 3 此表中的实际上是一个，概率论(在本教材第二章)中称该表为的(概率)分布. 例1.2.4 (有放回抽样模型) 一批产品共件，其中件是次品，其余为合格品，从中有放回随机抽检件，求事件 “抽检的件产品中有件次品”的概率？ 解 判断可知，该有放回抽样模型也为古典概型，其包含的样本点总数(记为)，而事件包含的样本点数为，于是 ，