概率統计知识点.docVIP

一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质 考研数学知识点-概率统计 （4）全概公式 设事件B1, B2,Λ , Bn 满足 （1）概率的公理化定义 1 ° B1, B2,Λ , Bn 两 两 互 不 相 容 ， 设 ? 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一 个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有 P(Bi) 0(i = 1,2,Λ , n) ， A ? ΥnBi 2° i=1 ， 则有 P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) +Λ +  P(Bn)P(A | Bn) ? ∞ ? ∑∞ 。 P?? Υ Ai ?? = P A ( i) ? = i 1 ? = i 1 此公式即为全概率公式。 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 （2）古典概型（等可能概型） 1° ? = {ω1,ω2Λ ωn}，  （5）贝叶斯公式 设事件 B1 ， B2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ，B2 ，…，Bn 两两互不相容，P(Bi) 0，i = 1， 2，…， n ， A ? ΥnBi 2° ω = P(ω ) = Λ P(ω ) = P( ) 1 。 2° i=1 ， P( A) 0 ， 1 2 n n 则 设任一事件 A ，它是由ω1,ω2Λ ωm组成的，则有 / ) =n / ) P(B )P( A B P(B A i i ，i=1，2，…n。 P(A)= {(ω1) Υ (ω2) Υ Λ Υ (ωm)} ω + Λ + ω i ∑ / ) P(B )P( A B = P (ω1) + P(2) ( ) Pm j=1 j j =m=A所包含的基本事件数 n 基本事件总数 2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、 贝叶斯） （1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi) ， i = 1 ，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi/ A) ， （ i = 1 ， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。如果我们把 A 当作观察的“结果”，而 B1 ，B2 ，…， Bn 理解为“原 因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出 了“由果朔因”的推断。 3、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 P AB = P B （2）减法公式 设事件 A 、 B 满足 ( ) ( A)P( ) ，则称事件 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ? A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) A 、 B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。 若事件 A 、 B 相互独立，且P( A) 0 ，则有 AB P B 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) P A (B | ) = P( ) A P( ) = ( A)P( ) P A ( ) = P B ( ) （3）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P AB  AB P( ) P A ( )  为事件 所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任 何事件都相互独立。（证明） 同时，? 与任何事件都互斥。 P(B / A) = ( ) P A ( ) 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概 率。  1 （2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-概率统计 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 称为随机变量 X 的分布函数。 P(a X ≤ b) = F  a 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验 定义 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发