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广东金融学院2010年数学竞赛参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 总分 得分 高等数学部分：（共10小题，每小题10分，共100分） 1、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及. [解] 由等价无穷小得 （或由泰勒公式得） 设曲线与交于A点，过坐标原点O和A点的直线与曲线围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？ 解：当时，由解得 故直线OA的方程为旋转体的体积 令 并由得唯一的驻点a=4.。 故a=4时旋转体的体积最大，且最大体积为 3、计算二重积分，其中。 解：令，得知直线y=x将D划分为两个区域： 。 于是，原式 == =。 4、设函数在（）上连续，在可导，且. （1）求证：，，等式成立. （2）求极限. [证]（1）令, ,由中值定理得 ，. （2）由上式变形得，两边取极限，，，，，. 5、已知，，，…，，…. 求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根. 解一：（1）， ； 又收敛，收敛， 收敛，又因，故收敛。 （2）令，，，且，，即a是的根，令，，，，，故根唯一。 解二：由已知，，…，…，由此可见，， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。 设，。 ， 由知、收敛，令，； 由，，知，。 对两边取极限得， ① 对两边取极限得， ② 由①—②得，解得 由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。 6、在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）. (Ⅰ) 求的方程； (Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 解：(Ⅰ) 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ， 又，所以. 故曲线的方程为 . (Ⅱ) 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故. 7、已知 和 有公共解 求a及全部公共解 解：即 联立方程组有解 ，也即，无解 唯一解 无穷多解 解为 8、三阶实对称矩阵的特征值为，，对应于特征值的特征向量为 , 求。 解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有 ， 因而，，为不等于0的任意常数. 取，，，令，则有 ， 因此，. 9、 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且 ，， （1）求，使得；（2）求。 解：（1） 所以 ； （2）有（1）知 因为，线性无关，所以，因此 。 10、设，为两个随机事件,且, , , 令 求：(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布. 【分析】本题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机事件和表示即可． 解 (Ⅰ) 因为 ，　于是　， 则有　， ， ， ， ( 或　)， 即的概率分布为： 　 0 1 0 1 　　　　　　　　　　　 (Ⅱ)　方法一：因为　，，， ，， ，， 　　　　　　， 所以与的相关系数 　　． 方法二： X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，，DY=, E(XY)=, 故 ，从而 (Ⅲ) 的可能取值为：0，1，2 ． ， ， ， 即的概率分布为： 0 1 2 二、数学建模知识问答部分（共3小题，每小题10分） 11、设上台阶时，每步可跨1级或2级，Gn表示上n级台阶时的全部可能方式数，试研究Gn的规律。 解 通过简单的分析可知 G1=1, G2=2, G3=3 上n级台阶时,观察最后一步（或首步），只有两种可能， （1）跨1级, 则其余n-1级台阶, 共有Gn-1种可能方式数; （2）跨2级, 则其余n-2级台阶, 共有Gn-2种可能方式数; 从而共有Gn-1 +Gn-2种可能方式数; 即 ………….推出此公