【复习资料】高等数学(下).docx

高等数学（下）第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念1．多元函数（1）知道多元函数的定义元函数：（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为；2°：真数大于；3°：开偶次方数不小于；4°：或中≤（3）会对二元函数作几何解释2．二重极限这里动点是沿任意路线趋于定点的．理解二重极限的定义一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）．3．多元函数的连续性（1）理解定义：．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1．偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数．2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：．3．全微分（1）知道全微分的定义若可表示成，则在点处可微；称为此函数在点处的全微分，记为．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（，；）偏导数存在，不一定可微（是否为）．偏导数连续，全微分必存在．（3）求方向导数、梯度．三、多元复合函数与隐函数求导法则1．多元复合函数的求导法则（1）（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形若确定了，则；若确定了，则，．（2）方程组的情形若能确定，则由可解出与；若确定了，，像上边一样，可以求出，及，．四、多元函数微分法的应用1．几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1°：曲线：，，，时，上相应点处的切线方程：法平面方程：2°：曲线：，则点处的切线方程：法平面方程：3°：曲线：，则点处的切线方程为法平面方程：（2）空间曲面的切平面与法线方程1°：曲面：，点处的切平面方程为：法线方程：2°：曲面：，在点处的切平面方程为：法线方程为：2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的，与；，时有极大值，时有极小值；时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：在条件与下的极值时，取解方程组，求出，，则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值点．第九章 重积分二重积分定义： 几何意义：当≥时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积．物理意义：以为密度的平面薄片的质量．性质1°：2°：3°：若，则4°：时，5°：若在上≥，则≥≥6°：若在闭区域上连续，且≤≤，则≤≤7°：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使二重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：2°：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：（2）在极坐标系中,1°：极点在外：：则有2°：极点在的边界上：：则有3°：极点在内：：则有在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有或两个积分变量之比、时，一般可选择极坐标系．2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：关于轴（或轴）对称时，应配合被积函数对于（或）的奇偶性．4°：若，积分区域:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．三重积分定义：物理意义：以为密度的空间体的质量．性质（与二重积分类同）．三重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若为：此处为在面上的投影，与分别为的下界面和上界面方程，则2°：若为：此处为用平面截时所得的截面面积，则（2）在柱面坐标系下若为：，则（3）在球面坐标系中若为：，则注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4°：若是长方体：，而，则三重积分化为三个定积分的乘积．重积分的应用几何应用求面积：求体积：，求曲面面积：若：，在面上的投影为，则的面积为：物理应用求质量：；求重心：；在均匀情况下，重心公式可变形为：；同理，可得到空间体的重心坐标．求转动惯量：；；同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分1．定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：（）物理意义：曲线的质量．（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：物理