高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲.docVIP

选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求 1．坐标系：　 ① 理解坐标系的作用.　 ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 参数方程：　　 ① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. ③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. ④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 二、基础知识梳理 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏ叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点.极点O的坐标为. 4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点. 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的. 5．极坐标与直角坐标的互化： 6.圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 (a0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是； 在极坐标系中，以 (a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是； 7.直线的极坐标方程： 在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 9．常见曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆(ab0)的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）. 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致. 三、典型例题分析 考点1、极坐标与直角坐标互化 例题1.1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程. 例1.2、已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______ 答案：（ ） 考点2、极坐标与直角坐标方程互化 例题2.1、已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线直角坐标方程. 解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即. 例2.2、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点. 求圆C的极坐标方程； 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解：（1）圆的极坐标方程为，（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点， ∴，，将，代入圆的极坐标方程，得∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆. 例2.3、在极坐标系中，求圆与直线的位置关系. 考点3、参数方程与直角坐标方程互化 例题3.1、已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为． （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． 解：（1）由得∴曲线的普通方程为， ∵，∴，∵ ∴，即，∴曲线的直角坐标方程为 ． ∵圆的圆心为，圆的圆心为，∴∴两圆相交，设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段，∴∴． 例3.2、在椭圆上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线的距离的最小值． 解：设椭圆的参数方程为， ，当时，，此时所求点为.． 例题3.3、已知直线经过点,倾斜角， ①写出直线的参数方程; ②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积. 解 ：（1）直线的参数方程为，即．