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高中数学数列基本题型及解法 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。 (2)通项公式法：①若? =?+（n-1）d=?+（n-k）d ，则为等差数列； ②若? ，则为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题：?? (1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当0,d0时，满足的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 数列求和的常用方法公式法裂项相消法错位相减法倒序相加法是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3．注意与之间关系的转化。如： = ， =． 四、例题解析 例2．已知数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和。 分析{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径． 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 例设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。、设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。 中，且满足 ⑴求数列的通项公式； ⑵设，求； ⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。. 常用方法 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） （3） （4） 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法 例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， (1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、??????叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。 四、叠乘法 例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。 一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。 五、公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。 例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。 （1）。 （2） 注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系 求证：数列是等比数列。 六、阶差法 例7.已知数列的前项和与的关系是 ，其中b是与n无关的常数，且。 求出用n和b表示的an的关系式。 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为。 七、待定系数法 例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn 辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。 例9.在数列中，，，，求。 例10.（2003年全国高考题）设为常数，且（）， 型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等. (1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。 例11：已知数的递推关系为，且求通项。 例12： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。 例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列的首项． （1）求的通项公式； 注：一般地，对递推关系式an+1=pa