高中数学必修2-3第一章11第2课时计数原理的综合应用.docVIP

第2课时　计数原理的综合应用 　　　　　　　两个计数原理在排数中的应用[学生用书] 用0这十个数字可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？[解]　由于0不可在最高位因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知适合题意的三位数共有9×10×10＝900个．(2)由于数字不可重复可知百位数字有9种选择十位数字也有9种选择但个位数8种选择．由分步乘法计数原理知适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．[互动探究]　在本例条件下求小于500的无重复数字的三位整数的个数？解：百位数字只有4种选择十位数字有9种选择个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知适合题意的三位数共有4×9×8＝288个． 排数问题实际就是分步问题需要用分步乘法计数原理解决．此题中由于数字“0”的出现又进行了分类讨论即在 1．(1)某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)则该城市可增加的电话部数是(　　)解析：选电话号码是六位数字时该城市可安装电话9×10部同理升为七位时为9×109×106－9×10＝8.1×10(2)用0十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)解析：选所有三位数个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数个数为9×9×8＝648所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252. 选(抽)取与分配问题高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践其中工厂甲必须有班级去每班去何工厂可自由选择则不同的分配方案有(　　)种 种种 种[解析]　法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类共分为三类：第一类三个班级都去甲工厂此时分配方案只有1种情况；第二类有两个班级去甲工厂剩下的班级去另外三个工厂其分配方案共有3×3＝9种；第三类有一个班级去甲工厂另外两个班级去其他三个工厂其分配方案共有3×3×3＝27种．综上所述不同的分配方案有1＋9＋27＝37种．*法二：(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数再扣除甲工厂无人去的情况即：4×4×4－3×3×3＝37种方案．[答案]　 求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 2．(1)某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛如果每班每项限报1人则这3名学生的参赛的不同方法有(　　)种 种种 种解析：选由于每班每项限报1人故当前面的学生选了某项之后后面的学生不能再报由分步乘法计数原理共有4×3×2＝24种不同的参赛方法．(2)从1这五个数中每次取出两个不同的数分别记为a共可得到－的不同值的个数是(　　)解析：选由于－＝，从1中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有5×4＝20种而得到相同值的是1与3以及3与9两组所以可得到－的不同值的个数是18故选 　　　　　　　涂色(种植)问题[学生用书] 如图有4个编号为1的小三角形要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种并且相邻的小三角形颜色不同共有多少种不同的涂色方法？ [解]　分为两类：第一类：若1同色则1有5种涂法有4种涂法有1种涂法(与1相同)有4种涂法．故N＝5×4×1×4＝80.第二类：若1不同色则1有5种涂法有4种涂法有3种涂法有3种涂法．故N＝5×4×3×3＝180.综上可知不同涂法的种数为N＝N＋N＝80＋180＝260. 解决涂色(种植)问题的一般思路：(1)按涂色(种植)的顺序分步进行用分步乘法计数原理计数．(2)按颜色(种植品种)恰当选取情况分类用分类加法计数原理计数．(3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理．(4)如果正面情况较多可用 3．(1)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物不同的种植方法共有________种(以数字作答)． 解析：从左往右5块试验田分别有3种种植方法共3×2×2×2×2＝48种方法其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1×1＝6种所以不同的种48－6＝42种．答案：42(2)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A组合而成的现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A不涂色)要求相邻的面均不同色则不同的染色方案共有________种． 解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面然后涂三棱柱的三个侧面由分步乘法计数原理共有3×2×1×212种不同的涂法．答案：12 数学思想 分类讨论思想解决排数问题用0可以组成多少个无重复数字且比2 015大的