二重积分的计算---直角坐标系下二重积分的计算.pptVIP

注 积分区域 若被积函数 一般地, 则 即二重积分在这种情形下， 定积分之积. 可表成两个 解 积分区域如图 例3 分析 例7 解 这是一个曲顶柱体，其顶 画出该空间体的图形如右, 例8 解 于是所求体积为 值符号去掉, 为了计算积分, 首先要 例8 解 其中 因此 从而 * 例： * 解: x y * 例： 例6 设 在 上连续且都单调减少， 则 证明: 设 证 需证 定积分的值与积分变量记号无关 1 1 D x y O 类似可得 (或利用D关于y=x的对称性) 由此可得 右端相加 或 时， 由题设 与 均为单调减少， 故不论 同号， 与 1 1 D x y O 从而 解 依对称性可得 关于x的奇函数， 例7 D1 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 内容小结 (2) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 充分利用对称性 应用换元公式 1. 设 且 求 交换积分顺序后 x , y互换 思考与练习 提示 为顶点的三角形, 设D是平面上以 2. 解 是它的第一象限部分, 设 则有( ). 3. 计算 其中D 是 x 轴，y 轴和直线 所围成的闭域. 则 解 令 计算 的次序. 所围. 与 由 解 例 4-1 例4-2 解 其中D是由直线 利用直角坐标计算比较合适， 所围成的 闭区域. 用适当的坐标计算 由被积函数及积分区域的特点知， 例4-3 解 原式= 首先画出积分区域 的图形. 设 在 上连续，试证 则有 设 例6-1 证明 即 于是 例6-2 证法1 显然 证法2 即 例6-3 证明 画出积分区域 交换积分次序 例7-1 解 求 其中 均为偶函数, 故 例7-2 解 关于 轴对称, 关于 的轮换对称性, 得 所以 再利用积分区域的对称性 和被积函数关于变量 围成， 是连续函数. 与 是由 其中D 由于被积函数 而 求 例7-3 解法1 关于 为偶函数，即 于是 则 对称. 关于原点 所以 函数的积分性质，简化了计算. 函数对 为奇函数的积分性质. 注意: 本题利用了两种不同类型的对称区域上奇偶 最后一个等式利用了积分区域关于 轴对称，被积 则 令 解法2 解 例4 解 二重积分的计算(1) 一、直角坐标系下二重积分的计算 第十二章 第二节 1. 积分区域D为X–型区域 2. 积分区域D为Y–型区域 3. D既不是X–型区域，也不是Y–型区域 一、直角坐标系下二重积分的计算 问题: 如何计算二重积分 ？ 解决方法： 化二重积分化为两次定积分. 1. D为X–型区域 a b b a D D 特点： 定理 先对y, 后对x 积分的二次积分 记作 应用计算“已知平行截面面积的立体求体积”的方法(简称平行截面法), 可求此体积. 步骤： 1o 求平行于坐标面的截面面积 A(x) 几何解释: 作平行于 yOz 面的平面 x = x0 . 柱体所得到的截面是一个以区间[ ?1(x0), ?2(x0) ] 为底，曲线 z = f (x0 , y)为曲边的曲边梯形. 这个平面截曲顶 其面积： —— 已知平行截面面积 记作 其中函数 在区间 上连续. c d D c d D 特点： 2. D为Y–型区域 当 D为Y–型区域时，有 先对x, 后对y 积分的二次积分 记作 为计算方便, 可选择积分次序, 则有 若积分区域既是 X –型区域又是Y –型区域 , 必要时还可以交换积分次序. 注 的上、下限均为常数. 的函数或常数，不能与内层积分变量有关. 外层积分 内层积分的下限. (出) (上) 至上穿D， a b D . 穿入点所对应的纵坐标为 两种特殊情形 o x y a b c d 积分顺序可交换 . 3. D既不是X–型区域，也不是Y–型区域 X-型域 如图中区域 D 被 则有 分成三个子区域， 可将它分成若干个 或Y-型域 , 解决方法： 解 D是 X－型的. 显然D上点 的坐标的变化范围是[0,4]. 例1 在(0,4)内任取一点 x , 过该点作 y 轴的平行线， 例2 交换下列二次积分的积分次序： (1) 由二次积分的积分限可知