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第9章 直线相关与回归 医学本科生用 医学统计学 泰山医学院 预防医学教研室 zcheng@tsmc.edu.cn Teaching Plan for Medical Students Medical Statistics 目 录 教学目的及要求 第九章 直线相关与回归 掌握直线相关与回归的概念、意义及应用条件； 掌握直线相关与回归各指标的意义、应用及计算方法； 熟悉直线相关与回归的联系及区别； 了解曲线回归的概念、意义及类型。 第九章 直线相关与回归 第一节 直线相关 1。当两事物或现象在数量上的协同变化呈直线趋势时则称为直线相关（linear correlation）,又称简单相关（simple correlation），用于分析双变量正态分布资料。表示两变量相关关系的重要指标就是相关系数。 一、相关系数的意义 相关系数(correlation coefficient)又称为积差相关系数，用符号r表示。它描述两变量间相关关系的密切程度和相关方向。其数值1≥r≥－1，当r为正值时，表示一变量随另一变量的增加而增加称为正相关；当r为负值时，表示一变量随另一变量的增加而减少，称为负相关。当│r│愈接近1，表示两变量的相关愈密切；当│r│愈接近0时，表示两变量相关程度愈低；当│r│＝0时，称为零相关，表示两变量无直线相关关系，见示意图9-1。 一般认为，当样本含量较大的情况下（n100），大致可按下列标准估计两变量相关的程度 │r│≥0.7 高度相关 0.7│r│≥0.4 中度相关 0.4│r│≥0.2 低度相关 图9-1 相关系数示意 第一节 直线相关 二、相关系数的计算 相关系数r的计算公式： 计算公式为： 例9.1 某研究者测量10名20岁男青年身高与前臂长。见表9-1。问身高与前臂长有无直线相关关系？ 计算步骤： （1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料呈直线相关趋势。 表9-1 身高与前臂长数据与计算表 （2）根据表9-1原始数据计算出∑X，∑Y，∑X2，∑Y2，∑XY 。 本例∑X＝1725，∑Y＝454， ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541。 （3）计算X、Y的离均差平方和与离均差积和 （4）求相关系数r 三、相关系数的检验假设 检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。 1。t 检验法 t检验的计算公式 例9.2 对例9.1资料所得r值，检验20岁男青年身高与前臂长是否有直线相关关系。 （1）建立检验假设 Ho：ρ＝0 ,两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0 ,两变量间有直线相关关系 α＝0.05 （2）计算t值 本例n=10， r=0.8227 ，按公式（9.5）和公式（9.6） 计算t值 （3）确定P值，作出推断结论 按υ＝n-2=8查t界值表，得 0.002P0.005，按α ＝0.05水准，拒绝Ho，接受H1，故可认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相关关系。 2.查表法 查附表14, r界值表列出了相关系数r与0差别显著性的判断界值，按自由度＝n-2查r界值表，当r≥rα,n-2时，则P≤α ；反之，r＜ rα,n-2 时，则P＞α 。本例r＝0.8227，大于r0.05(8)＝0.738 ，故P0.05。r值有意义。检验结果与t检验相同。 第二节 直线回归 一、直线回归的概念 1。回归：反映两变量数量依存的关系，即指由一个变量推算另一个变量的数量关系。直线回归是回归分析中最基本最简单的一种，故又称简单回归（simple regression）。 2。反映回归关系的方程称为直线回归方程。 二、直线回归方程的求法 求直线回归方程，关键在于计算a、b两个系数，根据数学上的最小二乘法原理即保证各实测点至回归直线的纵向距离的平方和最小。 例9.3 利用例9.1资料已知20岁男青年身高与前臂长之间存在直线相关关系，现求身高与前臂长的直线回归方程。 计算步骤： （1）列回归系数计算表同表9-1，求出ΣX ，ΣY ，ΣXY ， X2 ， ΣY2 。 本例ΣX=1725 ，ΣY=454 ，ΣXY=78541 ，ΣX2=298525 ，ΣY2=20690 。前面已经计算出 lxx=962.5 ，lxy=226 （3）求回归系数b和截距a 三、回归直线的绘制 在自变量X的实测值范围，任意指定相距较远且易读的两个数值，代入直线回归方程，求出相应的Y的估计值，确定两点，用直线连接。如本例取X1=155，则 ；X2=185，则。在图上确定（155，41.291）和（185，48.335）两个点，直线连接，即得出直线回归方程的图形， 图9-2 20岁男青年身高与前臂长散点