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2007年高中数学竞赛吉林省初赛 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设集合，则满足的集合的个数是 （D） A．1 B．3 C．7 D．8 解：，即求集合A的子集的个数，个. 注：①；②个元素集合的子集个数. 2．若，则有（A） A． B． C． 　 D． 解：由图象可知. 或：，两边取对数得， 从而，. 3．在棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，则异面直线AB与MN的距离是 （C） A． 　　 B． 　　　 C．　 　 D．　 解：如图，分别取AB、CD的中点E、F，联结EN、NF、FM、ME、EF.　MN、EF交于点O，显然四边形ENFM是平面四边形且是菱形，故MN⊥EF，又EF是等腰三角形AFB的高，因此有EF⊥AB，且. 其实显然这个距离就是异面直线AB与CD的距离的一半. 4．等差数列中，，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值为4，则抽取的是（D）. A． 　 　 B． 　 C．　 D．　 解：. 5．已知S－ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若，，，那么的取值范围是 （　） A． 　　 B．　　C．　　 D． 解：过O分别作与SA、SB、SC垂直的平面，得到一个长方体，且OS为长方体的对角线，所以，则， 同理　 ， 。 故. 6．设集合，一一映射满足条件：对任意的有 ，则满足上述条件的映射的个数为（　　　） A．40 　　 B．41　　　 C．80　　 D．81　 解：若有得，，则有与已知矛盾。因此，对任意的，要么，要么，，，且，，互不相同，故只有以下三种情形： ⑴对任意的，，这样的只有1个； ⑵中存在一个循环，而其它的元素时， 这样的有个； ⑶中存在两个循环和， 这样的有个； 因此共有81个满足条件. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．已知ABC是正三角形，P是ABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，若，则二面角P－AB－C的大小为. 解：设P在平面ABC中射影为O，由PA=PB=PC知OA=OB=OC，即O为ABC的外心， 又由面积射影定理知，所以二面角P－AB－C的大小为. 8．所有棱长都等于1的三棱锥的内切球的体积等于. 解：设内切球半径为，则，从而. 9．已知,过点作直线与轴、轴正半轴分别交于A、B两点，则使AOB（O 为坐标原点）的周长最小的直线的方程是. 解：设，，则AOB的周长为 ， 当且仅当，即时，上式等号成立. 则的斜率， 所以的方程为. 注：这里用到了万能公式：，则， ，. 一般结论 第一象限，设，当且仅当时，周长最小， 直线的方程是. 若是求面积最小时，则题目简单得多. 解：设，，则AOB的周长为 . 当且仅当，即时，上式等号成立. 则的斜率，所以的方程为. 也可以用初中平面几何知识证明，当P点为线段AB的中点时，AOB的周长最小。 10．已知函数，若有最大值或最小值，则的取值范围为. 解：因有最大值或最小值，故满足或，解得或. 11．设向量、满足、，且、的夹角为.若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是. 解：由得，当与共线时有，而时，与反向，故. 所以，实数的取值范围是. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于P、Q两点，则内切圆面积的最大值是 . 解：（常规方法） ①当轴时，易得的面积是3； ②当与轴不垂直时，设直线的方程为，P、Q两点坐标分别为，， 由，得， 故，， 而的面积 ， 令，则 ，函数是增函数，故，的面积. 因此当轴时， 的面积有最大值3，因的周长是定值8，故此时 内切圆的半径最大，因此其面积也最大，设此时内切圆的半径为，则， ，所以内切圆面积的的最大值为. 解：设直线的方程为，P、Q两点坐标分别为，， 由，得，故，， 而的面积，令，则 ，函数是增函数，故时 有最小值，此时的面积有最大值3，因的周长是定值8，故此时内 切圆的半径最大，因此其面积也最大，设此时内切圆的半径为，则， ，所以内切圆面积的的最大值为. 三、解答题（共4道题，每小题15分，满分60分） 13．设直线与椭圆有两个公共点A、B（可以重合），与圆 有两个公共点C、D（可以重合），求的最大值. 解：直线截曲线的弦长公式为. 将直线代入椭圆和圆得到方程： ，. 根据韦达定理求得：，， . 由于直线与椭圆和圆有公共点，所以 . 由于对称轴，所以其在处取得最大值. 14．证明：任给7个实数，其中必存在两个，实数满足：. 证明：设7个实数分别为：，且不妨设，将区间平均分成6个子区间： ，，，，，. 由抽屉原理，上述7个中必有某两个数在同一个