第7章 第7节 体几何中的空间向量方法.docVIP

2009~2013年高考真题备选题库 第七章 立体几何 第七节 立体几何中的空间向量方法 考点 利用空间向量求空间角 1．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，BAA1＝60°. (1)证明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 解：本题主要考查空间几何体中的线线垂直的证明和线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理判断能力和计算能力． (1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OCAB. 由于AB＝AA1，BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故ABA1C. (2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)． 则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， 则即 可取n＝(，1，－1)． 故cosn，＝＝－. 所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 2．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)证明：BC1//平面A1CD； (2)求二面角D-A1C-E的正弦值． 解：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面平行以及二面角的求解等知识，意在考查考生的空间想象能力以及化归转化能力、基本运算能力等． (1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连接DF，则BC1DF. 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD. (2)由AC＝CB＝AB得， ACBC. 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即 可取n＝(1，－1，－1)． 同理，设m是平面A1CE的法向量，则 可取m＝(2,1，－2)． 从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝. 即二面角D-A1C-E的正弦值为. 3.(12分)如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. (1)求证：ABGH； (2)求二面角D-GH-E的余弦值． 解：本题考查空间线面平行的判定定理、性质定理，二面角的求解，空间向量在立体几何中的应用等基础知识与方法，考查转化与化归思想等数学思想方法，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力． (1)因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EFAB，DCAB.所以EFDC. 又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD. 又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EFGH. 又EFAB，所以ABGH. (2)法一：在ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ， 所以ABQ＝90°，即ABBQ， 因为PB平面ABQ，所以ABPB. 又BP∩BQ＝B，所以AB平面PBQ. 由(1)知ABGH，所以GH平面PBQ. 又FH平面PBQ，所以GHFH. 同理可得GHHC， 所以FHC为二面角D-GH-E的平面角． 设BA＝BQ＝BP＝2，连接FC， 在RtFBC中，由勾股定理得FC＝， 在RtPBC中，由勾股定理得PC＝. 又H为PBQ的重心， 所以HC＝PC＝. 同理FH＝. 在FHC中，由余弦定理得cos FHC＝＝－. 即二面角D-GH-E的余弦值为－. 法二：在ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ， 所以ABQ＝90°. 又PB平面ABQ， 所以BA，BQ，BP两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA＝BQ＝BP＝2， 则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)． 所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1，2)， ＝(0，－1,2)． 设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 由m·＝0，m·＝0，得 取y1＝1，得m＝(0,1