维纳滤波与卡尔曼滤波合编.ppt

第四章 维纳滤波和卡尔曼滤波 引言 维纳滤波器的离散形式——时域解 离散维纳滤波器的z域解 维纳预测 卡尔曼(Kalman)滤波 引 言 4.2 维纳滤波器的离散形式—时域解  一、维纳—霍夫方程 一、维纳—霍夫方程 二、估计误差的均方值 2.3 离散维纳滤波器的 z 域解 一 非因果维纳滤波器的求解 二 因果维纳滤波器的求解 4.4 维 纳 预 测 二、 纯预测 三、一步线性预测的时域解 4.5 卡尔曼(Kalman)滤波 一、卡尔曼滤波的状态方程和量测方程 二 卡尔曼滤波的递推算法 三、 应用举例 由Hopt(z)=aN，此时可以把纯预测的维纳滤波器看作是一个线性比例放大器（如图4.4.1所示）。根据x(n)的信号模型 可以写出x(n)的时间序列模型所对应的输入输出方程 x(n)=ω(n)+ax(n-1) 将信号x(n)通过纯预测维纳滤波器，随着时间的递增，可以得到 当N=1时，x(n+1)=ax(n)=as(n) 当N=2时，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)  当N=N时，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n) … 以上推导结果相当于在n+N时刻，ω(n+N)=0，即去掉噪声时的结果。设N＞0时，ω(n+N)=0，则 x(n+N)=ax(n+N-1) 此时，从统计意义上讲，当N＞0时，白噪声信号ω(n+N)对x(n)无影响。  这一结论还可以推广，对于任何均值为零的x(n)，要估计s(n+N)时，只需要考虑B(z)的惯性，即可认为ω(n+N)=0，N＞0，这样估计出来的结果将有最小均方误差。 ^ 表明一个信号的功率谱在单位圆上没有极点与信号均值等于0等价，因此对于功率谱在单位圆上没有极点的信号，要估计s(n+N)时，可认为ω(n+N)=0, N＞0，即仅需要考虑B(z)的惯性，这样估计出来的结果将有最小均方误差。 ^ 终值定理 已知x(n-1), x(n-2)，…，x(n-p)，预测x(n)，假设噪声v(n)=0，这样的预测称为一步线性预测。设定系统的单位脉冲响应为h(n)，根据线性系统的基本理论，输出信号 令apk=-h(k)，则 预测误差 其中，ap0=1, 要使均方误差为最小值，要求 同维纳滤波的推导过程一样, 可以得到 E［e*(n)x(n-l)］=0 l=1, 2, …, p l=1, 2, …, p 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合， 得到 说明误差信号与输入信号满足正交性原理预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理。 预测误差的最小均方值 得到下面的方程组： 将方程组写成矩阵形式 这就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特点：  (1) 除了第一个方程外，其余都是齐次方程; (2) 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道观测数据x(n)与期望信号s(n)的互相关函数。 该方程组有 p+1个方程，对应地，可以确定apk，k=1, 2, …， p 和E［e2(n)］min，共计 p+1个未知数，因此可用来求解AR模型参数。这就是后面要介绍的AR模型法进行功率谱估计的原理，它再一次揭示了时间序列信号模型、功率谱和自相关函数描述一个随机信号的等价性。 例 已知 x(n)为AR模型，求AR模型参数。  解 求解AR模型参数包括确定AR模型的阶数 p 及系数ap1，ap2，…，app。 首先对Sxx(z)做傅里叶反变换，得到x(n)的自相关函数rxx(m), rxx(m)=0.8|m| 采用试验的方法确定模型阶数 p。首先取 p=2，各相关函数值由上式计算，并代入(3.4.29) 式，可得 计算得到 a1=-0.8， a2=0, σ2ω=0.36 如果取p=3，可计算出a1=-0.8, a2=a3=0, σ2ω=0.36，说明AR模型的阶数只能是一阶的。采用谱分解的方法，即对Sxx(z)进行谱分解，得到的模型也是一阶的，其时间序列模型和差分方程为 卡尔曼滤波是用状态空间法描述系统的，由状态方程和量测方程所组成。卡尔曼滤波用前一个状态的估计值和最近一个观测数据来估计状态变量的当前值，并以状态变量的估计值的形式给出。卡尔曼滤波具有以下的特点：  (1) 算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。 (2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳