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第十四章应力分析 基本要求： 1 ． 了解张量的基本概念、变形体内任意一点的应力状态定义； 2 ． 掌握任意一点的应力状态分析与计算。 第一节 张量的基本知识 一、角标符号和求和约定 物理量本身是不依赖于坐标系而存在的，而同一物理在不同坐标系中会有不同的数量特征。 张量是一种数学工具，用它来描述物理量及其运动，所得到的数量表征和分析结果，在任何坐标系中都具有不变形式。 我们讨论的是笛卡儿直角坐标系中的张量。 笛卡儿坐标系的基矢 笛卡儿坐标系 设ek (k=1、2、3)沿Oxk轴的单位矢量，称为基矢量或基矢。 定义基矢的点积或标量积： 为Kronecker克氏符号。 定义基矢的叉积或矢量积为： 为置换符号。 指标ijk的原始排列顺序为1、2、3，如果将排列中的任意一对相邻指标互换，则称为指标的一次置换。例如1 2 3给一次置换就成为1 3 2或2 1 3。如果再互换一对指标，就称为二次置换。依次类推可以定义指标排列的几次置换。当几次为奇数时，称为奇置换。而几为偶数时，称为偶置换。 求和约定 任一矢量 在三维的欧矢空间内，如果某一指标在同一项中重复出现，就表示要对这个指标从1到3求和。重复出现的指标称为哑标，只出现一次的指标称为自由指标。 i是自由指标，j、k、l都是哑标。 对求导运算： 笛卡儿坐标变换 坐标系O-X1X2X3刚体旋转为： O-X`1X`2X`3 记O`xi轴 与Oxi轴的夹角的方向余弦为： []是正交矩阵。 在空间任取一点P，P在坐标系中的坐标分别为 张量的定义 张量分量的集合张量 张量分量的运算 张量分量中所含指标的个数称为张量的阶。 在三维空间中，几阶张量共有几个分量（指标1、2、3） u、v、w表示一阶张量（小写黑体） T、S和W表示二阶张量及二阶以上的张量（大写黑体） 1. 零阶张量（即标量） 这只有一个分量，不变量 2. 一阶张量（即矢量） 它有三个分量 3. 二阶张量T有9个分量 张量的代数运算 1、张量相等 2、 张量的加减 3、 张量与标量相乘 4、 张量相乘 T 二阶张量乘u 一阶张量=三阶张量 张量的点积 二个二阶张量的点积是一个二阶张量。 第二节 二阶张量 二阶张量在连续介质力学中有广泛的应用，例如应力张量、应变张量都是二阶张量。 张量的基本性质： 张量的分量一定可以组成某些函数。 这些函数的值不随坐标而变 即： 这样的函数叫做张量的不变量。 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义另一同阶张量。因此张量可以叠加，也可以分解。 如某张量具有性质Pij =Pji，就叫对称张量。 如果Pij =-Pji ，则叫反对称张量， 这时i=j的分量必为零。 如果Pij ≠Pji 就叫非对称张量。 二阶对称张量的一个重要特点是它一定有三个主轴，如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都将为零，只留下下角标相同的三个分量，叫做主值。 第二节 外力、应力和点的应力状态 一、外力和应力 在外力作用下，物体内各个质点之间就会产生相互作用的力，叫做内力。单位面积上的内力叫做应力。 二、直角坐标系中一点的应力状态 一、应力分量 可以用质点在三个相互垂直的微分面上的应力表完整地描述该质点的应力状态。 三个应力分量 正应力分量+2个剪应力分量 正应力分量以推为正，以压为负 由于单元体处于静力平衡状态，故该单元体各轴的合力矩必须等于零。 叫剪应力互等定律。为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对出现的。 点的应力状态9个分量 6个分量 （） 二、质点在任意方向切面上的应力和应力边界条件 设ABC微分面的法线为N、N的方向余弦为 通过正应力及分量Sij 斜切微分面上的正应力和煎应力。 正应力σ就是S在法线的投影，也就是等于Si在法线N上的投影之和。 应力边界条件：如果质点处在物体的边界上，ABC就是物体的外表面。该面上的外力Tj(j=x、y、z)： （应力边界条件） 三、应力张量。 旧的坐标系Oxyz，新坐标系Ox＇y＇z＇斜切面N是新坐标系Ox＇y＇z＇中的一根轴。N是方向余弦l、m、n就是新坐标轴x＇在原坐标系中的方向余弦： 当时， 这就是该应力状态在Ox＇y＇z＇坐标系中的九个分量。这九个分量就可构成一个特殊的物理量 二阶张量。点的应力状态是 张量（应力张量，二阶张量）。 对称张量 张量