6.3单元分析-振动力学.pptVIP

第6章 有限单元法 * 第6章 弹性体振动的有限单元法 有限元法是一种将连续系统离散化为多自由度系统的数值计算方法。这种方法的基本思想可分为下面几个步骤： （1）将结构离散化。把复杂结构分割成若干个彼此之间只在节点（结点）处相互连接的单元，每一个单元都是一个弹性体，单元内部各点的位移用单元节点位移的插值函数来表示； 6.1 引 言 6.1 引 言 （2）单元分析。对每个单元，由位移插值函数和动力学基本原理确定刚度矩阵、质量矩阵及其他特征矩阵。插值函数实际就是一种假设模态，这里不是对整个结构，也不是对各子结构，而是对每个单元取假设模态。由于单元的尺寸相对较小，所以它们的假设模态可以取得非常简单； （3）整体分析。由单元特性矩阵综合组集成整体结构的特征矩阵，形成整体运动方程； （4）施加荷载和引入边界条件。未引入边界条件的刚度矩阵是奇异的（刚体位移）； （5）求解方程（静、动）。 6.1 引 言 有限元法用于结构的动力分析可称为动力有限元法。它与静力有限元法的不同仅仅是多了惯性力，即多了质量矩阵，而它的形成方法与刚度矩阵类似。 本章主要介绍动力有限元法的一些基本概念，以及用动力有限元法进行结构动力分析的具体步骤，而不详述这一内容本身的理论，也不介绍应用有限元法时的一些技巧等问题。具体内容包括杆的一维振动、梁的横向振动和梁在平面内的一般振动。 6.1 引 言 把连续结构离散成有限个单元，并对每个单元和节点进行编号。以结点的位移作为广义坐标。 设每个结点有k个自由度，则N个结点有kN个自由度，显然结构划分得越细，自由度数就越大，一般情况下计算精度也越高，但计算工作量也随之越大。故要根据实际情况和要求，综合考虑计算精度和计算工作量方面的因素，对结构进行适当、合理的分割。 6.2 结构的离散化 6.2 结构的离散化 动力有限元法在单元分析时具有以下特点： （1）每个单元都选择相同的形状函数（插值函数、假设模态）； （2）选取单元的端点位移作为广义坐标； （3）以拉格朗日方程为基础，推导出单元运动方程和整体结构运动方程； （4）质量矩阵[M]不是对角阵，一般是带状的。 6.3 单元分析 6.3 单元分析 6.3.1 杆的纵向振动 6.3 单元分析 弹性杆的参数假设，和前面连续体的振动类似。轴向坐标x，坐标原点取在杆的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为p。 取一个单元进行分析，单元长度为l。 杆端位移向量和单元杆端力向量为 在x截面处的位移为 Ni（x）为形函数。 和静力有限元一样，选取形函数为 （1）形函数 则 6.3 单元分析 单元动能 （2）单元质量矩阵 得到单元质量矩阵 6.3 单元分析 （3）单元刚度矩阵 利用单元势能（材料力学）公式 得到单元刚度矩阵 6.3 单元分析 （4）单元广义力列阵 f(x,t)对虚位移du(x,t)的虚功为 与{u(e)}对应的单元广义力列阵为 6.3 单元分析 在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移w(x,t)均沿z轴方向。 设梁的弯曲刚度为EI，质量密度为r，单位长度梁上的横向干扰力为f(x,t) 。 取一个单元进行分析，单元长度为l。 6.3 单元分析 6.3.2 梁的横向振动 杆端位移向量和单元杆端力向量为 其中：u1，u3为横向位移；u2，u4为截面转角位移。 6.3 单元分析 在x处的截面横向位移为 Ni（x）为形函数 和静力有限元一样，选取形函数为 （1）形函数 6.3 单元分析 利用单元动能公式 （2）单元质量矩阵 得到单元质量矩阵 6.3 单元分析 （3）单元刚度矩阵 利用单元势能（材料力学）公式 得到单元刚度矩阵 6.3 单元分析 （4）单元广义力列阵 f(x,t)对虚位移du(x,t)的虚功为 与{u(e)}对应的单元广义力列阵为 6.3 单元分析 杆的平面振动实际上就是静力有限元中的平面梁（杆）单元。这时候既要考虑拉压内力又要考虑弯曲内力，因此单元每个端点有三个位移。 u1(t) u2(t) u3(t) u4(t) u5(t) u6(t) r, E, A, I 6.3 单元分析 6.3.3 梁的平面振动 位移向量和单元杆端力向量为 u1(t) u2(t) u3(t) u4(t) u5(t) u6(t) r, E, A, I 6.3 单元分析 质量矩阵、刚度矩阵和杆端广义力列阵只需将前面杆和梁的相关矩阵直接相加即可。 6