2017版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数理.docVIP

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 理 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　√　) (3)角α终边上点P的坐标为(－，)，那么sin α＝，cos α＝－；同理角α终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sin α＝y0，cos α＝x0.(　×　) (4)α∈(0，)，则tan ααsin α.(　√　) (5)α为第一象限角，则sin α＋cos α1.(　√　) 1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝____________. 答案　－8 解析　因为sin θ＝＝－， 所以y0，且y2＝64，所以y＝－8. 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是____________． ①2kπ＋45°(k∈Z); ②k·360°＋π(k∈Z)； ③k·360°－315°(k∈Z); ④kπ＋(k∈Z)． 答案　③ 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z) ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确． 3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 答案　 解析　设圆的半径为r，则sin 1＝，∴r＝， ∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝. 4．已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ角的终边上(不是原点)，则＝________. 答案　 解析　由题意知角θ的终边与240°角的终边相同， 又∵P(x，y)在角θ的终边上， ∴tan θ＝tan 240°＝＝， 于是＝＝＝. 5．函数y＝的定义域为________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x∈(k∈Z). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　角及其表示 例1　(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． (2)若角α在第三象限，则角在第________象限． 答案　(1)(k∈Z) (2)二或四 解析　(1)∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为， ∴所求角的集合为(k∈Z)． (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)， ∴kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第二象限角， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，是第二或第四象限角． 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需