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高等数学辅导资料十八 主 题：期末复习（4-7章） 学习时间：2016年7月25日—7月31日 内 容： 一元函数积分学在微积分中占有重要地位，二元函数微积分是一元函数微积分的推广，线性代数是高等数学的一个重要分支。通过期末的总结与复习，希望同学们能够更加深入领会这门课程的重要知识点，学会简单的计算与应用，为期末考试提供更多的帮助。 本次复习归纳起来可分为三个部分： 概念部分 原函数 不定积分：应明确不定积分是原函数的全体 定积分：应该明确定积分表示一个确定的数值，这个数值依赖于积分区 间、依赖于被积函数，不依赖于积分变元。 4、可变上限的积分：应明确当为连续函数时，表示的一个原函数。 5、多元函数含两个要素：定义域、依赖关系 6、二元函数极限，二元函数连续性 7、偏导数、全微分 8、二重积分：应明确二重积分表示一个数值，明确二重积分的几何意义与物理意义。 9、行列式、矩阵 运算部分 计算不定积分 计算不定积分的基本思想是利用基本积分公式及不定积分性质，如果被积函 数不属于基本积分公式类型可以采用： 利用代数或三角恒等变型，将被积函数变为几个标准形式之和 将被积表达式变为标准形式，如积分第一换元法与积分第二换元法 将被积函数进行形式转换，如分部积分法。 计算定积分 利用定积分计算平面图形的面积 求二元函数定义域，其基本原则与求一元函数定义域的问题相同，就是要使解析表达式有意义。如分式的分母不能为零；偶次方根号下的表达式必须大于或等于零；对数的真数必须大于零；反正弦、反余弦中的表达式的绝对值小于等于1。 求偏导数：求二元函数对x的偏导数，只需将y认定为常数，依一元函数求导规则进行： 对复合函数求偏导数要依复合函数偏导数的链式法则求。通常要引入 中间变量，并注意有几层复合关系，在一元函数环节，用导数符号，而不用偏导数符号。 对隐函数求偏导数通常有两种方法： 如果确定，为了求，方法一是利用隐函数求偏导 数的公式。需注意，由求时，将三者等同对待。 方法二是将两端直接关于x求偏导数，此时需将认作是中间变量，由此求出。 6、求全微分 通常可以先求出，如果为连续函数，则有。 7、在直角坐标下计算二重积分 （1）选择积分次序，需考虑两个因素：被积函数与积分区域 确定积分次序之后，关键问题为确定积分限，这常常需要借助于积分区域D的图形。 如果选定先对y积分，可以作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，所作出的直线与区域D先相交的入口曲线作为积分下限；后相交的出口曲线作为积分上限，而后再对x积分时，取积分区域D中x的最小值a作为积分下限，最大值b作为积分上限。 交换积分次序，其一般步骤为： 先依给定的积分次序确定区域D的不等式表达式，并画出区域D的图形； 再依区域D的图形确定改变积分次序以后的积分限。 8、在极坐标下计算二重积分：面积元为 将直角坐标系下二重积分化为极坐标下的表达式时，需要先将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式。 极坐标系下的二重积分也要化为二次积分计算 设区域D的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点（或重合），则 若极点O在区域D的外部，且区域D可以表示为，则 若极点O在区域D的边界线上，且区域D可以表示为，则 若极点O在区域D的内部，且区域D可以表示为，则 同步练习 选择题 1、下列不定积分正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 2、设是的一个原函数，则（ ） A、 B、 C、 D、 答案：B 3、设函数，则 A、 B、 C、 D、 答案：D 4、二次积分等于 A、 B、 C、 D、 答案：A 行列式 A、0 B、-1 C、1 D、5 答案：B (二）填空题 设，则________。 答案：tanx 定积分________。 答案：0 函数的全微分 。 答案： 若积分区域D是由围成的矩形区域，则 ________。 答案： 设，则 。 答案： 设齐次方程组仅有零解，则K满足的条件是________。 答案： （三）解答题 1、设连续函数，证明。 解：由于定积分表示一个数值，可设，从而。将上式两端分别在[1,e]上取定积分，有 可得，即。 2、求的定义域。 解：由于分式的分母不能等于零，开偶次方根号下的表达式大于等于零，因此应有，而中真数必须大于零，因此所给函数的定义域为所确定的区域如下图所示 求由确定的隐函数的导数。 解： 求下列函数的极值与极值点 解：由于，可解得唯一驻点。 又， 可知（3,3）为的极小值点。 计算，其中D为所围成的区域。 解：区域D化为极坐标形式：，则 用克拉默法则求线性方程组的解 解：因为 ， ， 所以为方程组的解。 大