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功率谱估计 随机信号处理 学号： 姓名： 实验三 功率谱估计 1实验内容 信号为两个正弦信号加高斯白噪声，各正弦信号的信噪比均为10dB，长度为N，信号频率分别为和，初始相位，取，取不同数值：0.3，0.25。为采样频率。分别用Levinson递推法和Burg法进行功率谱估计，并分析改变数据长度、模型阶数对谱估计结果的影响。 2实验原理 2.1 Levinson递推法： 自相关法——列文森（Lenvison）递推法是已知信号观测数据，估计功率谱。它的出发点是选择AR模型参数使预测误差功率最小。 假设信号的数据区在范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为的滤波器，输出预测误差的长度为，因此有预测误差功率为 的长度长于数据的长度，上式中数据在以外补充零点，相当于对无穷长的信号加窗处理，会引入误差。 上式对系数的实部和虚部求微分使预测误差功率最小，得 （Yule-Walker方程） 式中自相关函数采用有偏自相关估计，即 Levinson-Durbin算法：使一种按阶次递推的算法。它以和模型参数作为初始条件，计算模型参数；再用模型参数计算模型参数，k阶模型参数由k-1阶模型参数计算得到。一直计算出模型参数为止。 一阶AR模型的Yule-Walker方程为 由该方程解出 然后令，以此类推，可以得到一般递推公式如下： 称为反射系数，。，随着阶数增加，预测误差功率将减少或不变。 由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到各阶模型参数， AR模型的各个系数及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算 这种方法递推效率高，当阶数变化时，无需从头计算。但需要预先估计出信号自相关函数，当观测数据长度较短时，估计误差较大，会出现谱峰频率偏移和谱线分裂；如数据很长，估计自相关函数较准确。 2.2 Burg递推法： Levinson-Durbin递推法需要由观测数据估计自相关函数，这是它的缺点。而伯格递推法则由信号观测数据直接计算AR模型参数。 伯格递推法利用Levinson-Durbin递推公式，导出前向预测误差与后向预测误差，并按照使它们最小的原则求出，从而实现不用估计自相关函数，直接用观测数据得出结果。 Burg递推法思想：借助格型预测误差滤波器，求前向、后向预测误差平均功率，选择使其最小，求出。之后，再利用Levinson-Durbin递推法求模型参数和输入噪声方差。 设信号的观测数据区间：,前向、后向预测误差功率分别用和表示，预测误差平均功率用表示，公式分别为 前向、后向观测误差公式分别为 上式中，信号项的自变量最大的是n,最小的是n-p，为了保证计算范围不超出给定的数据范围，在和计算公式中，选择求和范围为： 。 为求预测误差平均功率最小时的反射系数，令,将前、后向预测误差的递推公式代入得 Burg递推法求AR模型参数的递推公式总结： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3实验结果及分析 3.1原始信号，观测信号 这里取，，，，。 3.2 Levenson递推法 3.2.1 取，，或，阶数不变，实验不同数据长度对功率谱估计的影响 信号长度 信号长度N=35，阶数M=20的功率谱估计 信号长度 信号长度N=145，阶数M=20的功率谱估计 信号长度 信号长度N=2000，阶数M=20的功率谱估计 分析：由以上三个实验对比，可以看出当观测数据长度较短时，估计误差较大，会出现谱峰频率偏移与谱线分裂；当数据很长时，估计自相关函数较准确，但计算量较大。 3.2.2取，，，信号长度不变，实验不同模型阶数对功率谱估计的影响 1）阶数M=2 2）阶数M=4 3）阶数M=8 4)阶数M=16 分析：由以上几个实验对比，可以看出当阶次较低，会使谱估计产生偏移，降低分辨率；当阶次越高，分辨率越高；当阶次太高，会使估计误差加大，谱峰分裂。 3.3 Burg递推法 3.3.1取，，或，阶数不变，实验不同数据长度对功率谱估计的影响 信号长度 信号长度N=35，阶数M=20的功率谱估计 信号长度 信号长度N=145，阶数M=20的功率谱估计 信号长度 信号长度N=2000，阶数M=20的功率谱估计 分析：由以上三个实验对比，可以看出当观测数据长度较短时，估计误差较大，会出现谱峰频率偏移与谱线分裂；当数据很长时，估计自相关函数较准确，但计算量较大。频率越靠近的谱估计，需要的阶数越高。 3.3.2 取，，，信号长度不变，实验不同模型阶数对功率谱估计的影响 阶数M=4