最优估计作业4.docVIP

第五讲作业 1. 问题描述： 考虑时不变系统： 其中 量测矩阵H = [1 0 0]，系统噪声方差阵Q = [100]，量测噪声方差阵R = [200]，初始状态估计= [100 0 0], = diag{45, 500, 1}。要求编制仿真程序验证Kalman滤波，要求输出： 1. 以友好的人机交互方式，选择过程噪声为均匀分布或高斯分布 2. 允许滤波终止时间在20-100步之间任意设置 3. 分别输出状态各维的预测方差、估计方差曲线 4. 经过一次仿真，分别输出状态各维的预测误差、估计误差曲线 5. 经过100次仿真，统计出状态各维的预测与估计的样本方差曲线 2. Kalman滤波器原理与算法描述 2.1 Kalman滤波器原理 对于问题1描述的带有量测噪声以及状态噪声的离散时不变系统，设计滤波器满足估计误差 根据正交原理，量测zk+1已知，xk+1在zk+1的正交投影等价于已知b时a的线性 最小方差估计。也就是说，对于所求目标 满足： 量测估计方差和状态量测协方差分别为： 状态估计误差为： 量测预测误差为: 系统增益 其中，状态预测的协方差矩阵为： 由于状态噪声和观测噪声协方差矩阵已知，状态转移矩阵已知，因此系统增益矩阵可以进行离线计算。 2.2 Kalman滤波算法流程与算法描述 为了提高Kalman滤波器的速度，我们采用了离线计算系统增益Kk的方法，这样使得在实时计算滤波过程中的计算负担很小。离线部分算法如下表所示： Algorithm 1 Kalman滤波增益Kk的离线递推计算 跟据上面的离线计算，我们可以得到每一步的滤波增益矩阵Kk，这样就可以快速的实现Kalman滤波的实时计算。在线部分计算如下： Algorithm 2 离散系统Kalman滤波估计 这样，就实时计算除了K时刻的状态估计值。 3．人机交互界面 根据题目1要求，使用Matlab GUI工具箱，设计人机交互界面，其中使用单选框组“Uniformly Noise”和“Gaussian Noise”选择符合均匀分布或者高斯分布的噪声，使用文本框设置终止时间，按钮“1 Simu”，“Kalman Filter”， “100 Simu”分别控制进行1次仿真，对一次仿真状态进行Kalman滤波估计，进行100次仿真并进行Kalman滤波实验。右侧4图分别记录数据状态维度1，状态维度2，状态维度3和量测的实际值和估计值，其中横坐标表示时间，纵坐标表示数值，实线代表真实值，虚线代表估计值；左侧两图分别记录了1次仿真的预测误差、估计误差曲线和100次仿真的预测误差和估计误差方差的曲线。其中三条实线表示对三个维度的预测误差，三条虚线表示对三个维度的估计误差，总体界面如下图所示： 图 2: 人机交互界面的实现 高斯分布过程噪声下的实验结果 图3: 高斯分布过程噪声下的实验结果 结果分析：由上图可知，预测误差大于估计误差，可以看到，引入第k步观测值的信息，可以提高估计的精确程度。另一方面，随着时间的增大，系统的估 计误差和预测误差收敛于一个稳定水平，但是精度不高。 均匀分布过程噪声下的实验结果 图 4: 均匀分布过程噪声下的实验结果 结果分析：由上图可知，当选均匀分布的过程噪声，滤波结果没有高斯分布 的噪声，原因是：kalman滤波前提是噪声服从高斯分布。 改变Q、R值 对结果的影响 改变过程噪声方差的大小、量测噪声方差的大小，当Q=10，R=20时，两个噪声都降低为原来的1/10，结果如下： 图 5:改变Q、R值对结果的影响 结果分析：降低噪声的大小，可以提高估计的精度，这是因为当噪声过大会 淹没状态模型，造成估计精度不高 4.Matlab源程序 function varargout = kalman1(varargin) % KALMAN1 M-file for kalman1.fig % KALMAN1, by itself, creates a new KALMAN1 or raises the existing % singleton*. % % H = KALMAN1 returns the handle to a new KALMAN1 or the handle to % the existing singleton*. % % KALMAN1(CALLBACK,hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in KALMAN1.M with the given input arguments. % % KALMAN1(Property,Value,...) creates a new K