数学分类与抽象数学.docVIP

纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。它大体上分为三大类，即 研究空间形式的几何类，研究离散系统的代数类，研究连续现象的分析类 研究空间形式的几何类 属于第一类的如微分几何、拓扑学。 微分几何是研究 光滑曲线、曲面等，它以数学分析、 微分几何为研究工具。在力学和一些 工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。 拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。 研究离散系统的代数类 属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按 研究方法的不同，大致可分为初等 数论、 代数数论、 几何数论、 解析数论等。近世代数是把 代数学的对象由数扩大为 向量、矩阵等，它研究更为一般的 代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有 群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、 几何、 物理学等学科中有广泛的应用。 研究连续现象的分析类 属于第三类的如微分方程、 函数论、泛函分析。微分方程是含有未知 函数的 导数或 偏导数的方程。如未知函数是 一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。 函数论是实函数论（研究 实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在 复数平面上的 函数性质）的总称。泛函分析是综合运用 函数论、 几何学、 代数学的观点来研究无限维向量空间（如 函数空间）上的函数、 算子和 极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。 抽象代数就是近世代数，法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。 简介　　抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。?　　“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。?　　在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。 定义 　　抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。创始人及理论 　　被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产