指数函数、对数函和抽象函数复习指南.docVIP

指数函数、对数函数和抽象函数复习指南 湖南省浏阳市教育局教研室 朱保仓 学习目标 理解分数指数幂、根式的概念，掌握有理数指数幂的运算法则. 理解对数的概念，掌握对数的性质和运算法则. 掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能解决简单的实际实际问题。 掌握解抽象函数问题的常用方法. 知识要点归纳 指数与对数 （1）指数的主要内容有n次方根的定义与性质、根式的概念、分数指数幂的的概念，分数指数幂的性质，有理指数幂的运算.学习时要运用联系对比的方法（将n次方根的性质与平方根、立方根的性质比较，分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质比较），在对比中加深对新概念和性质的理解. （2）掌握对数的概念、对数式与指数式的互化及对数的运算性质。要注意对数运算是指数运算的逆运算，结合对数运算培养自已的逆向思维能力. （3）指数与对数对比表： 式子 名称 运算性质 指数函数与对数函数 （1）要熟练掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，能运用指数函数、对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、判断函数的单调性、奇偶性、比较大小等问题. （2）指数函数与对数函数的图象和性质对照表 解析式 图象 定义域 值域 函数值变化情况 当 当 当 当 单调性 当 当 当 当 反函数 抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： 一次函数型抽象函数 （2）指数函数型抽象函数 （3）对数函数型抽象函数 （4）幂函数型抽象函数 （5）三角函数型抽象函数 三、重点、难点透视 1、指数函数、对数函数是重要的初等函数，有关内容的命题空间较大，既可以小题形式出现，也可以综合试题考查。高考中往往将指数函数、对数函数与其他函数复合在一起来考查函数的有关性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性等）.该内容的重点是函数的图象与性质；当时函数值的变化情况是该内容的难点.要注意底数a的变化对函数图象和性质的影响. （1）指数函数、对数函数在闭区间上必定存在最小值和最大值。求含有此两类函数的最值时，一定要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各类方法求解. （2）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. （3）在该内容的学习过程中，要注意相关的数学思想（函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等）在问题解决过程中的运用. 2、近年来全国高考中的不同试卷中都出现了抽象函数，且所占分值也逐渐增大，相关的题目往往是在知识的交汇处设计，主要题型有求值、判断函数具有的性质（奇偶性、单调性、周期性等）、解不等式等。求解的关键是如何利用好题目所给的关系式.学习时要抓住如下几点： （1）注重概念，加深理解。定义域和对应法则f的概念是函数的基础，反函数是函数中的重要概念. （2）深化性质，加强应用。要注意函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及最值等概念的灵活运用. （3）以函数为背景，以方程、不等式为纽带，注意综合运用函数、方程、不等式、数列等知识分析解决问题. （4）尽力掌握一些重要的数学思想方法.如换元、赋值、递推、迭代等方法；特殊与一般之间的转化思想；试验—归纳—猜想—证明；联想与类比（运用已知的数学模型）等. 四、典型例题分析 例1、已知函数 若定义域为，求m的取值范围； 若值域为，求m的取值范围. 解：（1）由题意知，对任意实数x恒成立 所以 解得： 设，则 因为函数的值域是， 所以 解得： 评注：这是一个由对数函数与二次函数复合而成的“对数型函数”的问题。由对数函数的图象与性质不难得到：前者是当x取任意实数时，二次函数v的值恒为正数，故应有＜0；而后者是要求在复合函数的定义域内，二次函数的值域是，故应有≥0. 例2 设，求使为负值的的取值范围. 解：依题意， 即 即 即 ∵ ∴ 即 ……① 当时，①式两边取以为底的对数，得 当时，①式两边取以为底的对数，得 当＞0时，，∴①式恒成立，此时 综上所述，当时，； 当时，； 当＞0时，. 评注：对①式两边取以为底的对数时，应注意讨论与1的大小，且不可遗漏=1的情况；利用指数函数、对数函数的单调性解指数、对数方程或不等式，一般需化同底，使之宜于处理. 例3 函数的图象是（ ） 解：方法1；由题设知：，又a＞1，由指数函数的图象知答案为B 方法2：因 是