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高等数学容斥原理公式
高等数学容斥原理公式 n A1∪A2∪...∪Am ∑n Ai 1≤i≤m-∑n Ai∩Aj 1≤i≤j≤m+∑n Ai∩Aj∩Ak -…+ -1 ^m-1 n A1∩A2…∩Am 1≤I,j,k≤m 两个集合的容斥关系公式:A∪B A+B - A∩B ∩:重合的部分) 三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 详细推理如下: 1、 等式右边改造 {【(A+B - A∩B)+C - B∩C】 - C∩A }+ A∩B∩C
2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C 3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分: 那么A∪B∪C还缺部分7。 4、等式右边【】号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分, 减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。 5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5, 则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
编辑本段容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 A∪B A+B - A∩B 例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析
依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
15+12-4 23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人? 100- 62+34-11 15
编辑本段容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和 A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
例2
某校六(1)班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人? 分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案:25+22+24-12-9-8+X 45 解得X 3
例3
在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个? 分析:显然,这是一个重复计数问题(当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数)。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素,能“同时被3或5整除的数(15的倍数)”就是被重复计算的数,即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件。1000÷3 333……1,能被3整除的数有333个(想一想,这是为什么?)同理,可以求出其他的条件。
例4
分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析:这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001 7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数。 解答:1~1001中,有7的倍数1001/7 143 个 ;有11的倍数1001/11 91 个 ,有13的倍数1001/13 77 个 ;有7acute;11 77的倍数1001/77 13 个 ,有7acute;13 91的倍数1001/91 11 个 ,有11acute;13 143的倍数1001/43 7 个 .有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有 143+91+7 - 13+11+7 +1 281 个 ,从而不能被7、11或13整除的数有1001-281 720 个 .也就是说,分母为10
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