二阶常系数线性微方程(一).doc

§9.3 二阶常系数线性微分方程（一） 【教学目的与要求 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 2. 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构. 【教学重点与难点 2.三类可降阶的高阶微分方程，及其解法 授新课 一、二阶常系数线性微分方程的定义 二阶常系数线性微分方程的一般形式是 （1） 其中是常数；是的已知函数.如果则方程（1）变为 （2） 称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果则称方程（1）为二阶常系数非齐次线性微分方程． 下面对（1）、（2）的解法分别进行讨论． 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1. 解的性质 定义 设是两个函数，如果（为常数）；则称函数与线性无关． 定理1 （齐次线性微分方程解的结构定理）如果是二阶齐次线性方程（2）的两个线性无关的特解，则 　（3） 是方程（2）的通解，其中是任意常数． 证 首先证明满足方程（2）．由于都是方程（2）的解，所以．将代入方程（2）的左端，得 ． 这说明（3）是方程（2）的解. 下证它是方程（2）的通解. 因为 ， 由于线性无关，所以不能合并成为一个任意常数，这说明含有两个独立的任意常数，所以它是方程（2）的通解． 2. 解的求出 在方程（2）中，和都是常数，因此对于某一函数，若它与其一阶导数、二阶导数之间仅相差一常数因子，则它有可能是该方程的解，什么样的函数具有这样的特点呢？我们自然会想到函数. 令 ， 则 ， ． 将它们代入方程（2），便得到 ． 由于，故 ． (4) 这是关于的二次代数方程. 显然，如果满足方程（4），则就是齐次方程（2）的解；反之，若是方程（2）的解，则一定是（4）的根．我们把方程（4）叫方程（2）的特征方程，它的根称为特征根．于是，方程（2）的求解问题，就转化为求代数方程（4）的根的问题． （1）当 时，特征方程有两个不相等的实根，．这时，， 是微分方程（2）的两个特解；且常数. 所以微分方程（2）的通解是 ． （2）当时，特征方程有两个相等的实根．这时， 是微分方程（2）的一个特解．为了得到通解，还必须找出一个与线性无关的特解．可以证明，也是微分方程（2）的一个解，且与线性无关，因此微分方程（2）的通解为： ． （3）当时， ，是一对共轭复数根．是方程（2）的两个解，为得出实数解，利用欧拉公式：可知： ； ． 由定理1知，是（2）的解，它们分别乘上常数后相加所得的和仍是（2）的解，所以 ， ， 也是方程（2）的解，且常数，因此，方程（2）的通解为． 例1 求微分方程的通解． 解 所给微分方程的特征方程为 ， 即 ． 其特征根为 　 ． 因此所求微分方程的通解为 ． 例2 求微分方程 的通解 解 所给微分方程的特征方程为 ， 它有相同的实根因此所求微分方程的通解为 ． 例3 求方程的通解 解 所给微分方程的特征方程为 ， 它有一对共轭复根 ． 因此所求微分方程的通解为 ． 例4 求方程 满足初始条件 的特解． 解 特征方程为 ， 特征根为 ，于是方程的通解为 ． 因 故将初始条件代入以上两式，得 ． 从而 ．于是原方程的特解为 ． 三、二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解． 定理2 （非齐次线性微分方程通解的结构定理） 设是非齐次线性方程（1）的一个特解，而是对应齐次方程 的通解，则 是非齐次方程（1）的通解． 证 由已知条件知 ． 下面证明是方程（1）的解．事实上， ， 这表明是方程（1）的解． 又因为对应齐次方程（2）的通解中含有两个任意常数，所以中也含有两个任意常数，因而它是二阶非齐方程的通解． 四、小结 1. 二阶常系数齐次线性微分方程； 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程解