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数学分析（三）试卷4及答案 一 叙述题（每小题10分，共30分） 叙述第二类曲线积分的定义。 叙述Parseval等式的内容。 叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数﹑Fourier级数及其收敛定理。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1．求 ，此处为联结三点的直线段。 2．计算二重积分 。 其中 是以和为边的平行四边形。 3．一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。 4．计算三重积分 。 其中是椭球体。 5．计算含参变量积分的值。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 已 知，试确定二阶偏导数与的关系。 讨论积分的敛散性。 答案 一 叙述题（每小题10分，共30分） 设为定向的可求长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设 ++ 是定义在上的向量值函数，则称 为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。 2．函数在可积且平方可积，则成立等式 。 若是以为周期且在上可积的函数，则 称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数 称为函数的Fourier级数，记为 。 收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。 （1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。 （2）在处满足指数为的Holder条件。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1。解 。 在直线段上得 在直线段上得 在直线段上得 所以 。 2．解 . 3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有 由此解得 于是有 并且易知它是极小值点. 4．解 由于 ， 其中 ， 这里表示椭球面 或 。 它的面积为 。 于是 。 同理可得 ， 。 所以 。 5．计算含参变量积分的值。 解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 。 从而得 。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 当时， 。 ， ， ， ， 于是，当时，。 当时， 。 2．首先注意到 。 若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时 。 又因（对任何），故收敛。 若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有 常数， 故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。